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勾股定理，也称为毕达哥拉斯定理，是几何学中最重要的定理之一。它告诉我们，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理可以用公式 a² + b² = c² 来表示，其中 a 和 b 是直角边，c 是斜边。
现在我们来证明勾股定理。最经典的证明方法是面积证明法。我们构造一个边长为 a+b 的大正方形，它包含四个相同的直角三角形和一个边长为 c 的小正方形。大正方形的面积等于 (a+b)²，也等于四个三角形的面积加上中间正方形的面积，即 2ab + c²。通过等式变换，我们得到 a² + b² = c²。
勾股定理在实际生活中有广泛应用。在建筑工程中，工人使用3-4-5三角形来确保墙角垂直。在导航中，我们用它计算两点间的直线距离。让我们看一个例题：已知直角边分别为3和4，求斜边长度。根据勾股定理，c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以 c = 5。这就是著名的3-4-5直角三角形。
勾股定理还有一个重要的逆定理：如果三角形的三边长满足 a² + b² = c²，那么这个三角形一定是直角三角形。这为我们提供了判断直角三角形的方法。例如，边长为5、12、13的三角形，我们计算：5² + 12² = 25 + 144 = 169，而13² = 169，两者相等，所以这是一个直角三角形。这个逆定理在工程和测量中非常有用。
让我们总结一下勾股定理的要点。勾股定理告诉我们在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。它不仅有正定理，还有逆定理用于判断直角三角形。常见的勾股数组包括3-4-5、5-12-13等。勾股定理是几何学的基石，体现了数学的美妙和永恒真理，在理论研究和实际应用中都具有重要意义。