5.56这题怎么做？---【Problem 5.56】 (2019 Zhejiang 22) Given real number a ≠ 0, let function f(x) = a ln x + √x. For any x ∈ [1/e², +∞), we have f(x) ≤ √x / (2a). Find the range of the real number a. 【Analysis】 The original problem is equivalent to g(x) = a ln x + √x - √x / (2a) ≤ 0 holding true for all x ∈ [1/e², +∞). From the endpoint effect, we know: { g(1/e²) ≤ 0 { g(+∞) ≤ 0 Solving gives 0 < a < 1/2.

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这是一道关于函数不等式求参数范围的问题。给定函数f(x)等于a乘以ln x加根号x，要求对于定义域内所有x，函数值都不超过根号x除以2a。我们需要找到满足条件的实数a的取值范围。 为了解决这个问题，我们将原不等式进行转化。将f(x)小于等于根号x除以2a的条件，等价地转化为a乘以ln x加根号x减去根号x除以2a小于等于0。我们设g(x)等于这个表达式，那么问题就转化为要求g(x)小于等于0对定义域内所有x都成立。 我们首先分析端点条件。计算g在1除以e平方处的值，得到负2a加1除以e减去1除以2ae。要求这个值小于等于0。当a大于0时，我们将不等式两边同时乘以2ae，得到4a平方e减2a加1大于等于0。这是一个关于a的二次函数，其判别式小于0，所以对所有正数a都成立。 接下来分析当x趋向正无穷时g(x)的极限。我们可以将g(x)重写为a乘以ln x加上括号1减1除以2a乘以根号x。当a大于二分之一时，系数为正，极限是正无穷。当a等于二分之一时，g(x)简化为二分之一ln x，极限仍是正无穷。只有当0小于a小于二分之一时，系数为负，极限才是负无穷，满足条件。 现在我们综合分析两个条件。第一个条件g在端点处小于等于0，对所有正数a都成立。第二个条件要求当x趋向无穷时g(x)的极限小于等于0，这要求0小于a小于二分之一。取这两个条件的交集，得到最终答案：实数a的取值范围是0小于a小于二分之一。