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洛伦兹变换是狭义相对论中描述不同惯性参考系之间时空坐标变换的数学公式。它基于爱因斯坦的两个基本原理：相对性原理和光速不变原理。相对性原理指出，物理定律在所有惯性参考系中都具有相同的形式。光速不变原理则表明，光在真空中的传播速度在所有惯性参考系中都是常数c。
首先设定坐标系。考虑两个惯性系S和S'，其中S'相对于S沿x轴正方向以恒定速度v运动。在时刻t等于t'等于0时，两个坐标系的原点O和O'重合。由于空间的均匀性和各向同性，以及时间的均匀性，时空坐标变换必须是线性的。考虑到S'相对于S沿x轴运动，y和z方向不受影响，所以y'等于y，z'等于z。对于x和t的变换，我们假设最一般的线性形式。
现在利用光速不变原理来确定变换系数。考虑一个光信号在t等于t'等于0时刻从原点发出。在S系中，光信号沿x轴传播的轨迹满足x等于ct。在S'系中，光信号沿x'轴传播的轨迹满足x'等于ct'。将这些关系代入我们的变换形式，可以得到约束条件。通过消去时间变量，我们得到了变换系数之间的重要关系。
现在我们来求解洛伦兹因子γ。利用逆变换x等于γ乘以x'加vt'，将我们已经得到的x'和t'的表达式代入。经过代数运算，我们得到x等于γ的平方乘以x乘以1减去v平方除以c平方。由于这个方程必须对任意x成立，所以系数必须相等，得到1等于γ平方乘以1减去v平方除以c平方。解这个方程，我们得到洛伦兹因子γ等于1除以根号下1减去v平方除以c平方。
经过完整的推导，我们得到了洛伦兹变换的最终形式。正变换描述了从S系到S'系的坐标变换，其中x'等于γ乘以x减vt，时间变换为t'等于γ乘以t减vx除以c平方。逆变换则是从S'系到S系，形式类似但速度v变为负v。这些变换在v远小于c时近似为伽利略变换，在高速情况下体现了时空的相对性。洛伦兹变换是狭义相对论的数学基础，揭示了时间和空间的深刻联系。