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导数是微积分中的核心概念，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。想象你在开车，导数就像你在某一瞬间的速度。从几何角度看，导数表示函数图像在该点切线的斜率。我们通过让割线无限接近切线来理解这个概念。
导数的严格数学定义是一个极限。当h趋近于0时，函数在x点和x+h点之间的平均变化率的极限，就是导数。我们来看看这个过程：当h逐渐减小时，割线越来越接近切线，最终成为切线。
现在我们来学习一些基本的求导公式。首先，常数的导数是零。最重要的是幂函数的求导公式：x的n次方的导数等于n乘以x的n-1次方。此外还有指数函数、对数函数和三角函数的求导公式。这些是我们进行复杂函数求导的基础。
掌握了基本公式后，我们需要学习求导法则来处理复杂函数。线性法则告诉我们导数具有线性性质。乘积法则用于两个函数相乘的情况。商法则处理函数相除。最重要的是链式法则，它用于复合函数的求导，是处理复杂函数的关键工具。
让我们通过几个例题来巩固求导知识。例1是简单的多项式，直接用幂函数公式。例2需要用乘积法则。例3需要用商法则。例4是复合函数，需要用链式法则。通过这些练习，我们可以熟练掌握各种求导技巧。
导数的严格数学定义是一个极限。当h趋近于0时，函数在x点和x+h点之间的平均变化率的极限，就是导数。我们来看看这个过程：当h逐渐减小时，割线越来越接近切线，最终成为切线。
现在我们用导数的定义来求一个具体例题。求f(x)等于x平方的导数。根据定义，我们需要计算极限。首先展开(x+h)的平方，得到x平方加2xh加h平方。约去x平方后，分子变成2xh加h平方。提取公因子h，得到h乘以括号2x加h。约去h后，当h趋近于0时，极限等于2x。所以f(x)等于x平方的导数是2x。
现在我们用求导公式来解决一个例题。求f(x)等于x三次方加2x减5的导数。使用幂函数求导公式，x三次方的导数是3x平方，2x的导数是2，常数5的导数是0。所以f'(x)等于3x平方加2。图中蓝色曲线是原函数，红色曲线是导数函数。可以看到导数函数总是非负的，这意味着原函数总是递增的。
最后一个例题展示线性法则的应用。求g(t)等于4t平方减7t加1的导数。根据线性法则，我们可以分别对每一项求导。4t平方的导数是8t，负7t的导数是负7，常数1的导数是0。所以g'(t)等于8t减7。图中显示了原函数、导数函数和在t等于1处的切线。通过这些例题，我们掌握了导数的基本概念和求导方法。