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我们需要求函数 f(x) = 5cosx - cos5x 在开区间 (0, π/4) 上的最大值。首先观察函数图像，可以看到函数在区间内有一个明显的峰值。解决这个问题的关键是通过求导数找到临界点，然后判断哪个临界点给出最大值。
现在我们开始求解。第一步是求函数的导数。对于 f(x) = 5cosx - cos5x，我们分别对每一项求导。5cosx 的导数是 -5sinx，cos5x 的导数需要用复合函数求导法则，得到 -sin5x 乘以 5，即 -5sin5x。因此 f'(x) = -5sinx + 5sin5x，可以提取公因子 5，得到 f'(x) = 5(sin5x - sinx)。
第二步是求临界点。令导数等于零，即 5(sin5x - sinx) = 0，得到 sin5x = sinx。根据正弦函数的性质，sinA = sinB 的通解是 A = nπ + (-1)^n B。代入得到 5x = nπ + (-1)^n x。分两种情况讨论：当n为偶数时，得到 x = kπ/2；当n为奇数时，得到 x = (2k+1)π/6。在区间 (0, π/4) 内检查，只有 x = π/6 满足条件，这是唯一的临界点。
第三步是计算临界点处的函数值并验证这确实是最大值。将 x = π/6 代入原函数，得到 f(π/6) = 5cos(π/6) - cos(5π/6)。由于 cos(π/6) = √3/2，cos(5π/6) = -√3/2，所以 f(π/6) = 5√3/2 + √3/2 = 3√3。通过分析导数的符号可以确认，函数在 (0, π/6) 上递增，在 (π/6, π/4) 上递减，因此 x = π/6 处确实是最大值点。
通过以上步骤，我们完整地解决了这个问题。首先求导数得到 f'(x) = 5(sin5x - sinx)，然后令导数为零找到临界点 x = π/6，接着计算函数值得到 f(π/6) = 3√3，最后通过单调性分析确认这确实是最大值。因此，函数 f(x) = 5cosx - cos5x 在开区间 (0, π/4) 上的最大值为 3√3，约等于 5.196。