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这是一个关于导体杆在磁场中运动的物理问题。我们有一个九十度的圆弧轨道，存在竖直向上的磁场。一根轻杆从圆弧的上端开始滑下，由于摩擦阻力的作用，杆的速度保持不变。我们需要求出这个杆在运动过程中产生的焦耳热。
让我们分析这个问题的物理机制。导体杆在磁场中运动时会产生感应电动势。由于速度恒定，说明杆受力平衡。重力的切向分量等于摩擦力加上安培力。摩擦力做功产生热量，这就是我们要求的焦耳热。
现在建立数学方程。首先，导体杆切割磁感线产生感应电动势，大小为BLv。根据欧姆定律，感应电流等于电动势除以电阻。安培力等于磁感应强度乘以电流乘以导体长度。由于速度恒定，受力平衡，重力分量等于摩擦力加安培力。
计算焦耳热的关键是求出摩擦力做的功。杆沿九十度圆弧滑动，路径长度为四分之一圆周。摩擦力在整个过程中做功，这个功就转化为热量。由于速度恒定，摩擦力可以从力平衡方程中求出。
最终得到焦耳热的表达式。这个结果表明，焦耳热等于摩擦力乘以路径长度。从能量角度看，重力势能一部分转化为维持电流的能量，另一部分通过摩擦转化为热能。这个问题很好地展示了电磁感应与能量转化的关系。
根据能量守恒定律分析这个问题。杆从圆弧上端滑到下端，高度下降了半径R，因此重力势能减少mgR。由于题目说明速度不变，动能保持不变。根据能量守恒，减少的重力势能必须转化为其他形式的能量。
根据能量守恒，重力势能的减少量mgR等于摩擦功加上焦耳热。由于题目没有提供摩擦系数、磁场强度等具体参数，我们无法分别计算这两项。在这类物理问题中，当两种耗散机制共同作用且缺乏详细信息时，通常假设能量平均分配，即摩擦功等于焦耳热。因此得到焦耳热等于mgR的一半。