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今天我们来证明一个重要的几何定理：三角形内角和定理。该定理表明任意三角形的三个内角之和等于180度。我们将使用平行线的性质来进行证明。首先，让我们画一个任意三角形ABC，并标记其三个内角为α、β、γ。
证明的关键步骤是构造一条平行线。我们过顶点A画一条直线DE，使这条直线平行于底边BC。这个构造是证明的核心，因为平行线具有重要的几何性质，特别是关于角度的性质。通过这条平行线，我们可以建立三角形内角与直线角之间的关系。
现在我们应用平行线的重要性质：内错角相等。由于直线DE平行于BC，当AB作为截线时，角DAB和角ABC是内错角，因此它们相等。同样，当AC作为截线时，角EAC和角ACB也是内错角，因此也相等。这样我们就建立了平行线上的角与三角形内角之间的等量关系。
关键的一步是利用平角的性质。在直线DE上，角DAB、角BAC和角EAC构成一个平角，它们的和等于180度。现在我们进行角度代换：根据平行线性质，角DAB等于角B，角EAC等于角C。将这些等量关系代入平角等式中，我们得到角B加角A加角C等于180度。
证明完成！我们成功证明了三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和等于180度。这个证明的关键步骤包括：构造平行线、应用内错角相等的性质、利用平角的性质，以及进行角度代换。这个定理是几何学中的基本定理，在数学的各个分支中都有重要应用。