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我们有一个三角形，其中两条边长分别为5厘米和6厘米。第三边的长度也是整厘米数。我们需要找出这个三角形周长的最大值。首先，我们需要利用三角形的三边关系定理来确定第三边的取值范围。
根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边。设已知两边为a等于5厘米，b等于6厘米，第三边为c。那么a加b大于c，即5加6大于c，所以c小于11。同时a加c大于b，即5加c大于6，所以c大于1。综合这些条件，第三边c的取值范围是1小于c小于11。
由于第三边长度必须是整厘米数，在1小于c小于11的范围内，c的可能整数值有2、3、4、5、6、7、8、9、10。三角形的周长等于三边之和，即5加6加c，等于11加c。要使周长最大，c应该取其可能的最大整数值10。因此最大周长等于11加10，等于21厘米。
让我们验证当第三边c等于10厘米时，是否满足三角形的三边关系。5加6等于11大于10，5加10等于15大于6，6加10等于16大于5。所有条件都满足，说明边长为5厘米、6厘米、10厘米可以构成一个三角形。因此，这个三角形的最大周长为5加6加10等于21厘米。
让我们回顾一下解题的完整步骤。首先，我们应用三角形三边关系定理，建立不等式组，得出第三边c的取值范围是1小于c小于11。然后，由于c必须是整数，我们确定c可以取2到10之间的任意整数。最后，由于周长等于11加c，要使周长最大，c应取最大值10，因此最大周长为21厘米。这就是我们的最终答案。