我们要计算含参积分 I(a) 等于从0到无穷大，sin x 除以 x 乘以 e 的负 a x 次方的积分，其中 a 大于等于0。这是一个经典的含参积分问题。图中蓝色曲线是 sin x 除以 x 函数，红色曲线是指数衰减函数，绿色曲线是它们的乘积，也就是被积函数。
解决这个含参积分的关键方法是积分号下求导法。对于 a 大于0，我们可以对 I(a) 关于参数 a 求导。根据积分号下求导的条件，可以交换求导与积分的顺序。计算偏导数后，得到 I'(a) 等于负的 sin x 乘以 e 的负 a x 次方从0到无穷大的积分。图中显示了 sin x 函数和加权后的函数随参数变化。
现在我们需要计算标准积分：从0到无穷大 e 的负 a x 次方乘以 sin x 的积分。这是一个经典的积分，可以使用分部积分法。令 b 等于负 a，c 等于1，代入公式后计算定积分的上下限。当 x 趋于无穷时，指数项趋于0；当 x 等于0时，得到负1除以 a 平方加1。因此积分结果是1除以 a 平方加1，所以 I'(a) 等于负的1除以 a 平方加1。
现在我们对 I'(a) 进行积分。负的1除以 a 平方加1 的积分是负的 arctan a 加上积分常数 C。为了确定常数 C，我们考虑当 a 趋于无穷时的极限。当 a 趋于无穷时，被积函数快速衰减，积分趋于0。而负 arctan 无穷加 C 等于负二分之π加 C，这应该等于0，所以 C 等于二分之π。因此最终结果是 I(a) 等于二分之π减去 arctan a。
最后我们验证结果的正确性。当 a 等于0时，积分变成著名的狄利克雷积分，其值为二分之π。将 a 等于0代入我们的公式：二分之π减去 arctan 0等于二分之π减去0，确实等于二分之π，验证正确。因此，含参积分 I(a) 的最终答案是二分之π减去 arctan a，其中 a 大于等于0。这个优美的结果展示了积分号下求导法的强大威力。