解答这题---Here is the extracted content from the image: **Title:** 2024JP 自招 SMK--均值不等式 **Given Information:** 已知 $a_1, a_2, \dots, a_n > 0$, $A_n = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n}, G_n = \sqrt[n]{a_1 a_2 a_3 \dots a_n},$ **Main Condition:** 在已知 $A_2 \ge G_2$ 的条件下回答以下问题: **Question (1):** (1) 若 $x > 1$, 求 $x + \frac{1}{x-1}$ 的最小值. **Question (2):** (2) 求证: $A_4 \ge G_4$; **Question (3):** (3) 求证: $A_8 \ge G_8$; **Question (4):** (4) 求证: $A_5 \ge G_5$.

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这是一道关于均值不等式的综合题目。题目给出了算术平均数和几何平均数的定义，并在已知二元均值不等式的基础上，要求我们解决四个子问题。我们将逐一分析每个问题的解法。 第一题要求当x大于1时，函数x加上1除以x减1的最小值。我们使用变量替换的技巧，将表达式改写为x减1加上1除以x减1再加1。由于x大于1，所以x减1是正数。根据已知的二元均值不等式，两个正数的算术平均大于等于几何平均，因此x减1加上1除以x减1大于等于2。所以原函数的最小值为3，当x等于2时取得。 第二题要证明四元均值不等式。我们采用分组的方法，将四个数分成两组，每组两个数。设x1为前两个数的算术平均，x2为后两个数的算术平均。根据已知的二元均值不等式，x1大于等于前两个数的几何平均，x2大于等于后两个数的几何平均。然后对x1和x2再次应用二元均值不等式，最终得到A4大于等于G4。这种分组递推的方法是证明高阶均值不等式的经典技巧。 第三题证明八元均值不等式，采用类似的递推方法。我们将八个数分成两组，每组四个数，设y1和y2分别为两组的算术平均。根据第二题已证明的四元均值不等式，y1大于等于前四个数的几何平均，y2大于等于后四个数的几何平均。然后对y1和y2应用二元均值不等式，最终得到A8大于等于G8。这展示了从低阶到高阶均值不等式的递推证明思路。 第四题证明五元均值不等式，采用巧妙的补齐法。我们已经证明了八元均值不等式，现在要证明五元的情况。关键思路是将5个数补齐为8个数，具体做法是在原来5个数的基础上，再添加3个G5。这样构造的8个数满足八元均值不等式，通过代数运算可以推导出五元均值不等式。这种补齐法是处理非2的幂次均值不等式的经典方法，体现了数学证明中的巧妙构造思想。