帮我讲解一下这道题目---Example 2. Given hyperbola C₁: x²/4 - y²/12 = 1. (1) If point M (3, t) is on hyperbola C₁, find the distance from point M to the right focus of hyperbola C₁; (2) Find the standard equation of hyperbola C₂ that has the same asymptotes as hyperbola C₁ and passes through the point (-3, 2√6).

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这是一道关于双曲线的综合题目。给定双曲线 C₁ 的方程为 x²/4 - y²/12 = 1。题目要求我们解决两个问题：第一，求点 M(3, t) 到双曲线右焦点的距离；第二，求与 C₁ 有相同渐近线且过特定点的双曲线 C₂ 的方程。让我们先观察这个双曲线的图像和基本性质。 现在我们来解决第一问。首先分析双曲线的基本参数：从方程可知 a² = 4，b² = 12，因此 a = 2。计算焦距：c² = a² + b² = 16，所以 c = 4。右焦点坐标为 F₂(4, 0)。离心率 e = c/a = 2。由于点 M 的横坐标 3 大于 a = 2，所以 M 在右支上。使用焦半径公式：距离等于 |ex - a| = |2×3 - 2| = 4。 现在解决第二问。首先求出双曲线 C₁ 的渐近线方程：y = ±√3x。与 C₁ 有相同渐近线的双曲线族可以表示为 x²/4 - y²/12 = k 的形式。将给定点(-3, 2√6)代入方程，计算得到 k = 1/4。因此 C₂ 的方程为 x²/4 - y²/12 = 1/4，化简后得到标准方程 x² - y²/3 = 1。图中红色曲线就是双曲线 C₂。 焦半径公式是解决双曲线焦点距离问题的重要工具。对于双曲线右支上的点，到右焦点的距离公式是 |ex - a|；对于左支上的点，到左焦点的距离公式是 |ex + a|。在本题中，点 M 的横坐标为 3，大于顶点横坐标 2，所以在右支上。应用公式得到距离为 4。这个公式避免了复杂的坐标计算，是解题的关键。 让我们总结一下这道双曲线问题的解答。第一问求点M到右焦点的距离，答案是4，关键是使用焦半径公式。第二问求双曲线C₂的方程，答案是x² - y²/3 = 1，关键是利用共渐近线双曲线族的性质。这道题综合考查了双曲线的基本参数、焦半径公式和渐近线等重要概念，是典型的解析几何问题。