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三角函数是数学中研究角与边关系的重要函数。在直角三角形中，我们定义角θ，以及相对于这个角的对边、邻边和斜边。基于这些边的比值关系，我们可以定义正弦、余弦和正切三个基本的三角函数。
现在我们来看三角函数的具体定义。正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。这些比值关系是三角函数的核心，帮助我们计算三角形中未知的边长和角度。
单位圆为我们提供了理解三角函数的几何视角。在以原点为圆心、半径为1的单位圆中，任意角θ对应圆上的一点。这个点的x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。当角度变化时，点在圆上移动，三角函数值也随之变化，展现出三角函数的周期性特征。
让我们来看一些特殊角的三角函数值。这些角度包括0度、30度、45度、60度和90度。记住这些特殊值非常重要，因为它们在解题中经常出现。例如，30度角的正弦值是二分之一，余弦值是二分之根号三。45度角的正弦和余弦值都是二分之根号二。这些值可以通过几何方法推导得出。
三角函数的图像展现了它们的周期性特征。正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期为2π。正弦函数从原点开始呈波浪状变化，余弦函数则从最大值1开始。这两个函数的图像形状相同，只是相位不同。三角函数的周期性使它们在描述振动、波动等周期现象时非常有用，广泛应用于物理学、工程学和信号处理等领域。