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积分是微分的逆运算。当我们要求解函数 f(x) = sin(x) 的积分时，实际上是在寻找一个函数 F(x)，使得这个函数的导数等于 sin(x)。图中红色曲线是 sin(x) 函数，蓝色曲线是它的一个原函数 -cos(x)。
让我们回忆一下基本三角函数的导数公式。我们知道 cos(x) 的导数是 -sin(x)。图中蓝色曲线是 cos(x) 函数，红色曲线是它的导数 -sin(x)。现在我们需要找到一个函数，它的导数是正的 sin(x)。
现在我们来寻找原函数。观察到 cos(x) 的导数是 -sin(x)，如果我们对 -cos(x) 求导会得到什么呢？根据导数的线性性质，-cos(x) 的导数等于负号乘以 cos(x) 的导数，也就是负的负 sin(x)，结果是正的 sin(x)。因此 -cos(x) 就是我们要找的原函数！
不定积分表示所有可能的原函数，它们之间只相差一个常数。这是因为常数的导数为零，所以无论我们给 -cos(x) 加上什么常数，它的导数都仍然是 sin(x)。图中显示了三个不同的原函数：蓝色的 -cos(x)，绿色的 -cos(x) + 1，以及紫色的 -cos(x) - 1。它们都是 sin(x) 的原函数。
综上所述，sin(x) 的积分等于 -cos(x) + C，其中 C 是积分常数。让我们总结一下推导步骤：首先，积分是微分的逆运算；其次，我们知道 cos(x) 的导数是 -sin(x)；因此 -cos(x) 的导数是 sin(x)；所以 -cos(x) 是 sin(x) 的原函数；最后加上积分常数 C 得到完整的不定积分结果。这就是 sin(x) 积分的完整推导过程！