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DETR物体检测算法基于Transformer架构。但是Transformer的自注意力机制有一个重要特点：它是置换不变的，也就是说不关心输入序列元素的顺序。然而在图像处理任务中，每个像素或特征块的空间位置信息是至关重要的。因此我们需要一种方法将位置信息编码并添加到特征向量中，这就是位置嵌入的作用。
DETR中使用的是正弦位置编码，这是一种固定的、非学习的位置编码方法。对于序列中的每个位置pos和嵌入向量的维度i，正弦位置编码的计算公式是：偶数维度使用正弦函数，奇数维度使用余弦函数。这个公式为每个位置生成一个唯一的d_model维向量，通过不同频率的正弦和余弦函数组合，确保每个位置都有独特的编码。
正弦位置编码的关键数学原理在于它能够通过线性变换表示相对位置信息。利用三角函数恒等式，任意两个位置pos和pos加k的位置编码向量之间存在固定的线性关系。这意味着模型可以通过学习一个简单的线性函数来理解任意两个位置之间的相对距离k，而无需为每个可能的相对距离单独学习表示。这使得模型能够泛化到训练时未见过的序列长度。
对于二维图像，DETR通常会为特征图上的每个位置生成二维位置编码。具体做法是分别计算x坐标和y坐标的一维正弦位置编码，然后将它们组合起来，通常是相加或拼接。最终得到一个表示该x y位置的向量。将计算出的位置编码向量加到对应的图像特征向量上，然后将这个带有位置信息的特征向量输入到Transformer编码器中。
总结一下，DETR中位置嵌入的数学原理主要基于正弦位置编码。它利用正弦函数的周期性和叠加性，通过特定的频率设计，使得位置编码向量能够唯一标识每个位置，并且能够通过线性关系有效地编码和传递相对位置信息。这使得原本对位置不敏感的Transformer能够理解图像中的空间关系，从而在物体检测任务中发挥重要作用。这就是DETR位置嵌入的核心数学原理。