微积分是计算不规则图形面积的重要数学工具。传统几何只能处理规则图形，如矩形、三角形和圆形，但对于由曲线围成的复杂图形，我们需要使用定积分的方法。通过将不规则图形分割成无穷多个微小矩形，然后求和，我们可以精确计算出任意复杂图形的面积。
计算不规则图形面积的第一步是确定图形边界的函数表达式。我们需要将不规则图形的边界表示为数学函数，比如 y 等于 f(x) 或 x 等于 g(y)。这里我们看到两条曲线，红色曲线表示函数 f1(x)，蓝色曲线表示函数 f2(x)。绿色点标出了两条曲线的交点，这些交点将帮助我们确定积分的边界。
第二步是确定积分区间，也就是积分限。我们需要找到计算面积区域在坐标轴上的起始点和结束点。在这个例子中，我们要计算从 x 等于 a 到 x 等于 b 这个区间内，曲线与 x 轴之间的面积。红色的垂直线标出了积分的边界，绿色的双箭头表示积分区间。蓝色阴影区域就是我们要计算的面积。
第三步是设置定积分表达式。根据不同的情况，我们有不同的积分公式。如果计算曲线与x轴之间的面积，使用积分 A 等于从 a 到 b 对 f(x) 的定积分。如果计算两条曲线之间的面积，使用积分 A 等于从 a 到 b 对 f(x) 减去 g(x) 的定积分。图中绿色区域展示了红色曲线 f(x) 和蓝色直线 g(x) 之间的面积。
最后一步是计算定积分求出面积。以函数 y 等于 x 的平方为例，计算从 x 等于 1 到 x 等于 3 的面积。首先求出 x 平方的原函数是 x 的三次方除以 3，然后代入上下限计算。结果是 27 除以 3 减去 1 除以 3，等于 26 除以 3，约等于 8.67 平方单位。绿色矩形展示了黎曼和的逼近过程，当矩形数量增加时，逼近效果越来越好。