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柯西积分公式是复分析中最重要的定理之一。它告诉我们，如果函数f在单连通区域内解析，那么函数在区域内部任意一点z0的值，可以通过围绕该点的闭合路径上的积分来表示。这个公式不仅具有深刻的理论意义，也是许多复分析应用的基础。
推导柯西积分公式的关键在于巧妙地处理被积函数在z0处的奇点。我们考虑积分中的被积函数f(z)除以(z减z0)，这个函数在z0处有一个简单极点。为了处理这个奇点，我们在z0周围引入一个半径为ε的小圆γ，使得小圆完全包含在原积分路径C的内部。这样，我们就可以应用柯西定理来建立两个积分之间的关系。
现在我们应用柯西定理。在由外围线C和内圆γ围成的环形区域内，被积函数f(z)除以(z减z0)是解析的，因为奇点z0被内圆排除在外。根据柯西定理，函数沿这个环形区域边界的积分等于零。边界由C的正向和γ的负向组成，所以我们得到第一个等式。改变γ的积分方向，我们得到关键结果：原来沿C的积分等于沿小圆γ的积分。这样就将复杂的积分转化为了简单的圆周积分。
现在我们计算小圆γ上的积分。关键是将被积函数分解为两部分：f(z0)除以(z减z0)，以及(f(z)减f(z0))除以(z减z0)。对于第一部分，f(z0)是常数，可以提出积分号外，剩下的积分是1除以(z减z0)沿圆周的积分，这个经典积分的结果是2πi。对于第二部分，由于f(z)在z0处解析，因此连续，当ε趋于零时，这部分积分趋于零。
至此，我们完成了柯西积分公式的推导。通过巧妙地引入小圆避开奇点，应用柯西定理建立积分等式，然后分解被积函数并分别计算两部分积分，我们最终得到了这个重要的公式。柯西积分公式表明，解析函数在区域内部任意一点的值完全由其在边界上的值决定，这体现了解析函数的强大性质，也为复分析的进一步发展奠定了基础。