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我们要解决一个经典的优化问题：如何从一张纸制作体积最大的无盖盒子。给定一张长为L、宽为W的矩形纸板，我们需要从四个角剪掉边长为x的正方形，然后将四周向上折起形成盒子。关键问题是：如何选择剪裁尺寸x，使得最终盒子的体积达到最大值？
现在我们来建立体积函数。剪掉四个角的正方形后，盒子的底面长度变为L减去2x，宽度变为W减去2x，而盒子的高度就是剪掉的正方形边长x。因此，盒子的体积可以表示为V(x)等于长乘以宽乘以高，即(L-2x)(W-2x)x。这就是我们需要优化的目标函数。
为了找到使体积最大的x值，我们使用微积分方法。首先展开体积函数V(x)等于4x³减去2(L+W)x²加上LWx。然后对x求导得到V'(x)等于12x²减去4(L+W)x加上LW。令导数等于零，得到二次方程12x²减去4(L+W)x加上LW等于零。解这个方程就能找到使体积最大的临界点。
现在我们来求解这个二次方程。使用二次方程求根公式，其中a等于12，b等于负4倍的L加W，c等于LW。经过计算化简，我们得到两个解：x₁等于L加W加上根号L²减LW加W²，再除以6；x₂等于L加W减去根号L²减LW加W²，再除以6。这两个解中，较小的那个x₂对应体积的最大值。