生成的内容需按照以下顺序： 定义 公式或定理 应用场景 注意事项 语言简洁明了，适合学生或初学者理解。 总时长在三分钟以上，不要重复。---已知二次函数的函数值求自变量的值 定义 当已知二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的函数值 $y$ 时, 可以通过解方程 $ax^2 + bx + c = y$ 来求对应的自变量 $x$ 的值。 公式 * 将方程整理为标准形式: * 使用求根公式: 应用场景 * 已知抛物线经过点 $(x, y)$, 求可能的 $x$ 值 * 求解实际问题中的可能解, 如物体抛射达到特定高度的时间 注意事项 * 当判别式 $D = b^2 - 4a(c - y) < 0$ 时, 方程无实数解 * 当 $D = 0$ 时, 方程有唯一实数解 (重根) * 当 $D > 0$ 时, 方程有两个不同的实数解 * 注意检查 $a \neq 0$ 的条件, 否则方程不是二次方程

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当我们已知二次函数的函数值时，需要求出对应的自变量的值。这是一个常见的数学问题。比如，对于二次函数 f(x) = x² - 2x + 1，如果已知函数值 y = 3，我们需要找到所有满足条件的 x 值。从图像可以看出，水平线 y = 3 与抛物线有两个交点，对应两个不同的 x 值。 解决这类问题需要遵循标准的求解步骤。首先建立方程 ax² + bx + c = y，然后整理为标准的二次方程形式 ax² + bx + (c - y) = 0。接下来使用二次方程的求根公式求解 x。公式中的判别式 D = b² - 4a(c - y) 决定了解的个数和性质。当判别式大于零时，方程有两个不同的实数解，对应图像中的两个交点。 这种方法在实际中有广泛应用。在几何方面，当我们知道抛物线经过某个特定的y坐标时，可以求出对应的x坐标值。在物理问题中，比如抛射运动，我们经常需要求物体达到特定高度的时间。例如，对于高度函数 h(t) = -5t² + 20t + 10，如果要求物体高度为25米的时间，就需要解方程 -5t² + 20t + 10 = 25。从图像可以看出，物体在上升和下降过程中都会经过25米高度，对应两个不同的时间点。 在求解过程中需要注意几个重要事项。首先是判别式的作用，它决定了方程解的个数。当判别式小于零时，方程无实数解，对应水平线与抛物线不相交的情况。当判别式等于零时，有唯一解，对应水平线与抛物线相切于顶点。当判别式大于零时，有两个不同的实数解，对应两个交点。其次要确保系数a不等于零，否则就不是二次方程了。最后，在实际应用中要检验解的合理性，比如时间不能为负数等。 让我们通过一个具体例题来巩固所学内容。已知二次函数 f(x) = 2x² - 4x + 1，求当 f(x) = 3 时 x 的值。首先建立方程 2x² - 4x + 1 = 3，整理得 2x² - 4x - 2 = 0，简化为 x² - 2x - 1 = 0。使用求根公式得到 x = 1 ± √2，即两个解：x₁ = 1 - √2 约等于 -0.41，x₂ = 1 + √2 约等于 2.41。从图像可以清楚看到，水平线 y = 3 与抛物线确实在这两个点相交，验证了我们的计算结果。这就是已知二次函数函数值求自变量值的完整解题过程。