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这是一道关于三角形边长求解的问题。在三角形ABC中，我们已知条件sin 2A等于sin C，边a等于2，边c等于1，需要求出边b的长度。我们将通过正弦定理和余弦定理来解决这个问题。
首先，我们从已知条件sin 2A等于sin C开始推导。利用二倍角公式，sin 2A可以写成2sin A cos A。根据正弦定理，a比sin A等于c比sin C，因此sin A等于a除以c乘以sin C。将这个关系代入前面的等式，得到2倍的a除以c乘以sin C乘以cos A等于sin C。由于sin C不等于零，可以约去，得到cos A等于c除以2a。
现在我们将已知的数值代入公式。我们有cos A等于c除以2a。将a等于2和c等于1代入这个公式，得到cos A等于1除以2乘以2，也就是1除以4。因此，cos A等于四分之一。
接下来使用余弦定理求解边长b。余弦定理的公式是a的平方等于b的平方加c的平方减去2bc乘以cos A。将已知数值代入：4等于b的平方加1减去二分之b。整理得到b的平方减去二分之b减去3等于0。乘以2得到2b的平方减去b减去6等于0。因式分解得到括号2b加3乘以括号b减2等于0。解得b等于2或b等于负二分之三。由于边长必须为正，所以b等于2。
通过以上步骤，我们成功求解了这道三角形问题。首先利用正弦定理和二倍角公式，从sin 2A等于sin C推导出cos A等于四分之一。然后应用余弦定理建立关于边长b的二次方程，解得b等于2。因此，在这个三角形中，边长b的值为2。这道题综合运用了正弦定理、余弦定理和二倍角公式，是三角函数应用的典型例题。