怎么做这道题---页码110 3. A sequence a₁, a₂, a₃, ... is defined by an = cos²(nπ/3) Find the exact values of (a) (i) a₁ (ii) a₂ (iii) a₃ (3) (b) Hence find the exact value of Σn=150 {n + cos²(nπ3)} You must make your method clear. (4)

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这是一道关于三角函数序列的问题。我们需要分析序列 aₙ = cos²(nπ/3)，并计算前三项的值，然后求出一个包含这个序列的求和式。让我们先观察 cos²(x) 函数的图像，它是 cos(x) 函数平方后的结果，值域在0到1之间。 现在我们来计算序列的前三项。对于 a₁，我们需要计算 cos²(π/3)。由于 cos(π/3) = 1/2，所以 a₁ = (1/2)² = 1/4。对于 a₂，cos(2π/3) = -1/2，所以 a₂ = (-1/2)² = 1/4。对于 a₃，cos(π) = -1，所以 a₃ = (-1)² = 1。通过单位圆可以清楚地看到这些角度对应的余弦值。 让我们继续计算更多项来发现规律。a₄ = cos²(4π/3) = 1/4，a₅ = cos²(5π/3) = 1/4，a₆ = cos²(2π) = 1。我们发现序列具有周期性，每3项重复一次，模式是 (1/4, 1/4, 1)。这是因为余弦函数的周期性质。一个完整周期的和是 1/4 + 1/4 + 1 = 3/2。这个周期性将帮助我们计算大范围的求和。 现在我们来计算求和式。首先将求和分解为两部分：自然数的和与余弦平方的和。第一部分是前50个自然数的和，等于50乘以51除以2，得到1275。第二部分利用周期性：50除以3等于16余2，意味着有16个完整的周期，每个周期的和是3/2，再加上剩余的前2项，即1/4加1/4等于1/2。所以第二部分等于16乘以3/2加上1/2，等于49/2。 最后我们将两部分相加得到最终答案。第一部分是1275，第二部分是49/2。将1275转换为分数形式2550/2，然后与49/2相加，得到(2550+49)/2 = 2599/2。这与题目给出的答案完全一致。我们的解题方法是：首先计算序列的前几项，发现周期性规律，然后分解求和式，利用周期性进行计算，最终得到正确答案。这道题展示了如何利用三角函数的周期性来简化复杂的求和计算。