讲解一下这个题---The variables $x$ and $y$ are such that $y = 0$ when $x = 0$ and $(x+1)y+(x+y+1)^3 = 1$. (a) Show that $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = -\frac{3}{4}$ when $x = 0$. [3] (b) Find the Maclaurin's series for $y$ up to and including the term in $x^2$. [7]

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这是一个关于隐函数微分的问题。我们有一个包含 x 和 y 的方程，需要求导数并展开麦克劳林级数。首先让我们理解题目条件：当 x 等于 0 时，y 等于 0，并且满足方程 (x+1)y + (x+y+1)³ = 1。 首先我们需要验证初始条件。将 x 等于 0 和 y 等于 0 代入原方程。左边变成 (0+1)乘以0 加上 (0+0+1)的三次方，等于 0 加上 1 的三次方，等于 1。这确实等于右边的 1，所以初始条件是正确的。 现在对原方程两边关于 x 求导。对第一项 (x+1)y 使用乘积法则，得到 y 加上 (x+1) 乘以 dy/dx。对第二项 (x+y+1)³ 使用链式法则，得到 3(x+y+1)² 乘以 (1 + dy/dx)。右边常数 1 的导数为 0。 现在将 x 等于 0 和 y 等于 0 代入导数方程。第一项 y 变成 0，第二项变成 dy/dx，第三项中 (x+y+1)² 变成 1。整理后得到 dy/dx 加上 3 乘以 (1 + dy/dx) 等于 0。展开得到 4 倍的 dy/dx 加 3 等于 0，所以 dy/dx 等于负四分之三。 最后我们构建麦克劳林级数。麦克劳林级数的一般形式包含各阶导数。我们已知 y(0) 等于 0，一阶导数 y'(0) 等于负四分之三。通过进一步计算可得二阶导数 y''(0) 等于 32 分之 9。将这些值代入麦克劳林公式，得到最终答案：y 等于负四分之三 x 加上 64 分之 9 x 的平方。