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极限是微积分的基础概念。它描述当自变量无限接近某个值时，函数值所趋近的目标。这里我们看到一个函数，当x趋近于2时，尽管函数在x等于2处未定义，但函数值趋近于4。这就是极限的本质：关注趋势而非具体点的值。
当函数在某点不连续时，我们需要分别考虑左极限和右极限。左极限是从左侧趋近时的极限值，右极限是从右侧趋近时的极限值。只有当左右极限都存在且相等时，该点的极限才存在。这个阶跃函数展示了左右极限不相等的情况，因此在x等于1处极限不存在。
有些函数的极限是无穷大。以函数f(x)等于1除以x为例，当x趋近于0时，函数值趋向无穷大。从右侧趋近时趋向正无穷，从左侧趋近时趋向负无穷。这种情况下我们说极限为无穷大，表示函数值可以变得任意大。垂直渐近线显示了函数的这种行为。
极限有重要的运算法则。两个函数和的极限等于各自极限的和，两个函数积的极限等于各自极限的积，商的极限等于各自极限的商（当分母极限不为零时）。这些法则使我们能够将复杂函数的极限分解为简单函数极限的运算，大大简化了极限的计算过程。
极限概念在数学中有广泛应用。最重要的是导数的定义，它通过极限描述函数的瞬时变化率。当h趋近于0时，割线逐渐接近切线，割线斜率的极限就是导数。极限还用于定义积分、判断函数连续性、分析渐近线行为等。可以说，极限是整个微积分学的基础，为现代数学和科学提供了强有力的工具。