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这是一个约束条件下求最值的经典问题。约束条件是圆 x² + y² = 25，目标函数是 3x + 4y。我们需要在圆上找到使 3x + 4y 取得最大值的点。接下来我们将分别用三种不同的方法来解决这个问题。
拉格朗日乘数法是求解约束优化问题的经典方法。我们构造拉格朗日函数，将约束条件引入目标函数。然后对各变量求偏导数并令其为零，得到方程组。解这个方程组可以得到 x 等于 3，y 等于 4，此时目标函数达到最大值 25。几何上，这对应于目标函数的梯度与约束曲线法向量平行的点。
数形结合法通过几何直观来解决问题。约束条件表示一个圆，目标函数表示一族平行直线。当直线与圆相切时，目标函数取得最值。利用点到直线距离公式，圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切。通过计算可得 k 的最大值为 25，对应的切点坐标为 (3, 4)。
柯西不等式提供了一种代数方法来解决这个问题。将目标函数 3x + 4y 看作两个向量的数量积，应用柯西不等式得到上界。由于约束条件 x² + y² = 25，可以直接计算出最大值为 25。等号成立的条件是两个向量平行，即 (x, y) 与 (3, 4) 成比例，这给出了最优解 (3, 4)。
通过三种不同的方法，我们都得到了相同的结果：在约束条件 x² + y² = 25 下，目标函数 3x + 4y 的最大值为 25，最优点为 (3, 4)。拉格朗日乘数法从代数角度求解，数形结合法利用几何直观，柯西不等式提供了不等式的视角。这三种方法各有特色，但殊途同归，体现了数学问题解法的多样性和统一性。