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圆是平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。圆的方程主要有两种表示形式：标准方程和一般方程。标准方程直接体现了圆心和半径的几何意义，而一般方程则是展开后的代数形式。
圆的标准方程形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²。其中 (h, k) 表示圆心坐标，r 表示圆的半径。这个方程直观地体现了圆的几何性质：平面上任意一点到圆心的距离等于半径。例如，圆心在 (1, 0.5)，半径为 1.5 的圆，其标准方程为 (x - 1)² + (y - 0.5)² = 2.25。
圆的一般方程形式为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。这是将标准方程展开并整理后得到的形式。其中 D = -2h，E = -2k，F = h² + k² - r²。例如，将标准方程 (x-1)² + (y-0.5)² = 2.25 展开，可得到一般方程 x² + y² - 2x - y - 1.75 = 0。
从一般方程可以求出圆心和半径。圆心坐标为 (-D/2, -E/2)，半径为根号下 D²/4 + E²/4 - F。以方程 x² + y² - 2x - y - 1.75 = 0 为例，D = -2，E = -1，F = -1.75，所以圆心为 (1, 0.5)，半径为 1.5。注意成圆的条件是 D²/4 + E²/4 - F 大于 0。
一般方程表示圆的条件是 D²/4 + E²/4 - F 大于 0。当这个值大于 0 时表示圆，等于 0 时表示一个点，小于 0 时在实数范围内无解。圆的方程包括标准方程和一般方程两种形式，它们在解析几何、工程计算等领域都有重要应用。掌握圆的方程有助于解决与圆相关的各种数学问题。