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FFT是快速傅里叶变换的缩写，它是一种非常重要的数字信号处理算法。FFT能够将时域信号快速转换到频域，帮助我们分析信号包含哪些频率成分。比如这个复合信号，通过FFT可以清楚地看到它由三个不同频率的正弦波组成。
要理解FFT的重要性，我们需要先了解DFT的计算复杂度问题。直接计算DFT需要N的平方次运算，当序列很长时计算量非常大。而FFT算法巧妙地利用了DFT计算中的对称性和周期性，将复杂度降低到N乘以log N。随着序列长度增加，FFT的优势越来越明显。
FFT的核心思想是分治策略。它将一个长度为N的DFT问题递归地分解为两个长度为N/2的子问题：一个处理原序列的偶数索引元素，另一个处理奇数索引元素。这个分解过程不断进行，直到得到最小的DFT问题。然后通过蝶形运算将这些小问题的结果合并，最终得到原问题的解。
蝶形运算是FFT算法的核心计算单元。它接收两个输入a和b，通过旋转因子W进行计算，产生两个输出：a加上W乘以b，以及a减去W乘以b。旋转因子W是一个复数，其值为e的负2πi乘以k除以N次方。这种交叉连接的计算模式看起来像蝴蝶的翅膀，因此被称为蝶形运算。
FFT作为一种高效的算法，在现代科技的各个领域都有广泛应用。在数字信号处理中，FFT用于频谱分析和数字滤波。在图像处理领域，JPEG压缩和边缘检测都离不开FFT。通信系统中的OFDM调制和信道均衡也大量使用FFT。此外，FFT在科学计算和音频处理中同样发挥着重要作用，可以说FFT已经成为现代数字世界不可或缺的基础算法。