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费马点是几何学中一个经典问题。给定一个三角形ABC，我们要在三角形内找到一个点P，使得这个点到三个顶点A、B、C的距离之和PA加PB加PC达到最小值。这个特殊的点就被称为费马点，也叫托里拆利点。
费马点有两个重要性质。第一，对于锐角三角形，费马点位于三角形内部，并且从费马点到三个顶点的连线，两两之间的夹角都恰好是一百二十度。第二，对于钝角三角形，费马点不在内部，而是位于钝角顶点本身。这是因为当角度大于一百二十度时，该顶点就是使距离和最小的点。
现在我们来学习如何用几何作图法找到费马点。首先，在三角形ABC的每条边上向外作正三角形。在边AB外作正三角形ABD，在边BC外作正三角形BCE，在边AC外作正三角形ACF。然后，连接每个外部正三角形的顶点与原三角形的对角顶点，即连接CD、AE和BF。这三条连线会相交于一点，这个交点就是费马点P。
费马点模型在现实生活中有很多重要应用。最典型的是物流配送中心选址问题：假设有三个城市，我们需要在它们之间建立一个仓库，使得从仓库到三个城市的总运输距离最短。根据费马点理论，最优位置就是使三条运输路线夹角为一百二十度的点。类似地，在通信网络布线、医院学校等公共设施选址中，费马点都能提供最优解决方案。
让我们通过一个具体例题来应用费马点理论。已知三角形ABC的边长分别为AB等于5，BC等于6，AC等于7。首先判断三角形类型：5的平方加6的平方等于61，大于7的平方49，根据勾股定理逆定理，这是一个锐角三角形。因此费马点位于三角形内部，从费马点到三个顶点的连线夹角都是120度。通过几何作图法或解析方法，可以找到这个最优点，使得到三个顶点的距离和达到最小值。