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確率分布は、確率変数がとりうる値とその確率を表したものです。今日は、離散分布の代表である二項分布と、連続分布の代表であるガンマ分布について詳しく学習していきます。これらの分布は、品質管理、信頼性工学、医学統計など、様々な分野で重要な役割を果たしています。
二項分布は、n回の独立したベルヌーイ試行において、成功回数Xが従う離散確率分布です。各試行の成功確率をpとすると、ちょうどk回成功する確率は二項係数を用いて表現されます。期待値はnp、分散はnp(1-p)となります。pの値によって分布の形状が変化し、p=0.5のときに対称な分布となります。
二項分布の代表的な応用例として品質管理があります。例えば、不良率5%の製品から10個を抜き取り検査する場合を考えてみましょう。不良品が見つからない確率は約60%、1個見つかる確率は約32%です。2個以上見つかる確率は約9%で、これが起こった場合は製造工程に問題がある可能性を疑う必要があります。
ガンマ分布は、正の実数値をとる連続確率分布です。形状パラメータαと尺度パラメータβで特徴付けられ、指数分布の一般化とも言えます。αが1のときは指数分布と一致し、αが大きくなるにつれて分布の形状が変化します。期待値はαβ、分散はαβ²となります。
ガンマ分布は待ち時間分析によく使われます。例えば、コールセンターで3番目の電話がかかってくるまでの時間や、機械の故障までの時間などをモデル化できます。二項分布が離散的な成功回数を扱うのに対し、ガンマ分布は連続的な時間を扱います。どちらも実際の問題解決において非常に有用な確率分布です。
二項分布は、n回の独立したベルヌーイ試行において、成功回数Xが従う離散確率分布です。各試行の成功確率をpとすると、ちょうどk回成功する確率は二項係数を用いて表現されます。期待値はnp、分散はnp(1-p)となります。pの値によって分布の形状が変化し、p=0.5のときに対称な分布となります。
二項分布の代表的な応用例として品質管理があります。例えば、不良率5%の製品から10個を抜き取り検査する場合を考えてみましょう。不良品が見つからない確率は約60%、1個見つかる確率は約32%です。2個以上見つかる確率は約9%で、これが起こった場合は製造工程に問題がある可能性を疑う必要があります。
ガンマ分布は、正の実数値をとる連続確率分布です。形状パラメータαと尺度パラメータβで特徴付けられ、指数分布の一般化とも言えます。αが1のときは指数分布と一致し、αが大きくなるにつれて分布の形状が変化します。期待値はαβ、分散はαβ²となります。
ガンマ分布は待ち時間分析によく使われます。例えば、コールセンターで3番目の電話がかかってくるまでの時間や、機械の故障までの時間などをモデル化できます。二項分布が離散的な成功回数を扱うのに対し、ガンマ分布は連続的な時間を扱います。どちらも実際の問題解決において非常に有用な確率分布です。