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我们需要求二次函数 y = 2x² + 2x + 1 与一次函数 y = x + 2 的交点。从图像上可以看到，这两个函数相交于两个点。接下来我们将通过代数方法精确求出这些交点的坐标。
要求两个函数的交点，我们需要令它们的函数值相等。设 2x² + 2x + 1 等于 x + 2，然后移项整理。将所有项移到等号左边，得到 2x² + x - 1 = 0。这是一个标准的二次方程，我们可以用因式分解法来求解。
现在我们用因式分解法求解二次方程 2x² + x - 1 = 0。首先寻找两个数，它们的乘积等于首项系数乘以常数项，即 2 乘以 -1 等于 -2，它们的和等于中间项系数 1。这两个数是 2 和 -1。然后将中间项 x 分裂成 2x - x，进行分组因式分解，最终得到 (2x - 1)(x + 1) = 0。
从因式分解的结果 (2x - 1)(x + 1) = 0，我们令每个因式等于零。2x - 1 = 0 得到 x = 1/2，x + 1 = 0 得到 x = -1。然后将这两个 x 值分别代入一次函数 y = x + 2 中求对应的 y 坐标。当 x = 1/2 时，y = 5/2；当 x = -1 时，y = 1。因此两个交点的坐标是 (1/2, 5/2) 和 (-1, 1)。
通过代数方法，我们成功求出了二次函数 y = 2x² + 2x + 1 与一次函数 y = x + 2 的两个交点坐标：(1/2, 5/2) 和 (-1, 1)。我们可以将这些坐标代入原函数进行验证，确认结果的正确性。从图像上也可以清楚地看到这两个交点的位置，与我们的计算结果完全吻合。