视频字幕
数学期望是概率论中的核心概念，用来衡量随机变量的平均取值。比如投掷一个公平的六面骰子，虽然每次投掷的结果是随机的，但如果我们投掷很多次，所有结果的平均值会趋近于3.5。这个3.5就是骰子点数的数学期望。
对于离散随机变量，数学期望的计算公式是所有可能取值与其对应概率的乘积之和。以投掷骰子为例，骰子有6个面，每个面出现的概率都是六分之一。我们将每个点数乘以其概率，然后求和，得到期望值为3.5。这个公式体现了数学期望的本质：加权平均。
对于连续随机变量，数学期望通过积分来计算。公式是x乘以概率密度函数f(x)在整个取值范围上的积分。以正态分布为例，其概率密度函数呈钟形曲线，数学期望等于分布的均值参数μ。红色虚线表示期望值的位置，它是分布的对称中心。
数学期望具有重要的线性性质。第一，对于任意常数a和b，以及随机变量X和Y，有E(aX+bY)等于aE(X)+bE(Y)。第二，常数的期望等于常数本身。第三，如果X和Y相互独立，那么它们乘积的期望等于各自期望的乘积。以投掷两个骰子为例，每个骰子的期望都是3.5，根据线性性质，两个骰子点数之和的期望就是7。
数学期望在现实生活中有广泛的应用。在统计学中，它用来描述数据的中心趋势；在金融学中，帮助评估投资收益；在决策理论中，为选择最优策略提供依据。例如，在投资决策中，如果股票A的期望收益是8%，股票B的期望收益是6%，理性的投资者会选择期望收益更高的股票A。数学期望不仅是一个数学概念，更是我们在不确定性中做出理性决策的重要工具。