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EM算法是机器学习中的重要算法，全称为期望最大化算法。它专门用于解决包含隐变量的概率模型参数估计问题。当我们的数据不完整，存在无法直接观测的隐变量时，传统的最大似然估计方法会遇到困难。EM算法通过迭代的方式，在期望步和最大化步之间交替进行，逐步逼近最优的参数估计。
EM算法包含两个核心步骤。第一步是E步，即期望步，在这一步中，我们根据当前的参数估计值，计算隐变量的后验概率分布。第二步是M步，即最大化步，我们根据E步计算出的结果，更新模型参数以最大化期望对数似然函数。算法在这两个步骤之间不断迭代，每次迭代都会提高似然函数的值，直到算法收敛到局部最优解。
高斯混合模型是EM算法最经典的应用示例。在这个模型中，我们假设观测数据来自多个高斯分布的混合，但每个数据点具体来自哪个高斯分布是未知的隐变量。EM算法通过迭代估计每个高斯分布的均值、方差和混合权重。E步计算每个数据点属于各个高斯分量的概率，M步根据这些概率更新高斯分布的参数。
EM算法的数学表达包含两个关键公式。在E步中，我们计算Q函数，它是完整数据对数似然函数在给定观测数据和当前参数下的条件期望。在M步中，我们找到能够最大化Q函数的新参数值。算法保证每次迭代都会增加观测数据的似然函数值，最终收敛到局部最优解。这个收敛过程可以通过似然函数值随迭代次数的变化来观察。
EM算法，全称期望最大化算法，是机器学习和统计学中的一个重要算法。当我们面对包含隐变量的概率模型时，传统的最大似然估计方法往往无法直接应用，这时EM算法就派上了用场。它通过交替执行期望步骤和最大化步骤，逐步逼近最优参数，是处理不完全数据问题的强有力工具。
EM算法的数学基础建立在最大似然估计之上。当面对包含隐变量Z的模型时，我们希望最大化观测数据X的对数似然函数。但由于隐变量的存在，直接优化变得困难。EM算法巧妙地引入了Q函数，它是完整数据对数似然的条件期望。算法流程很简单：从初始参数开始，交替执行E步和M步，直到收敛。
E步是期望步骤，它的核心任务是计算隐变量的后验概率分布。给定当前的参数估计，我们需要计算每个观测数据点属于不同隐状态的概率。这一步实际上是在进行"软分配"，不像硬聚类那样直接将数据点分配给某个类别，而是给出属于每个类别的概率。这些概率将在下一步的M步中用作权重。
M步是最大化步骤，它利用E步计算得到的后验概率来更新模型参数。在这一步中，我们将E步得到的概率作为权重，通过加权最大似然估计来更新模型的参数，比如高斯混合模型中的均值和方差。更新后的参数通常会使模型更好地拟合数据，从而增加似然函数的值。这个过程会持续进行，直到参数收敛。
EM算法在机器学习和统计学中有着广泛的应用。它被用于高斯混合模型的参数估计、隐马尔可夫模型的训练、聚类分析、缺失数据的处理以及潜在语义分析等多个领域。EM算法的主要特点包括：保证收敛到局部最优解，但对初始值比较敏感，计算复杂度适中，具有扎实的理论基础。虽然只能保证局部最优，但在实际应用中表现良好，是处理隐变量问题的重要工具。