利用Venn图求集合 定义 Venn图是一种用图形表示集合之间关系的工具，通过重叠的圆形区域展示集合的交、并、补等运算关系。 基本运算表示 •并集： 𝐴 ∪ 𝐵 A∪B 表示所有属于A或B的元素，对应两个圆的全部区域。 •交集： 𝐴 ∩ 𝐵 A∩B 表示同时属于A和B的元素，对应两个圆的重叠区域。 •补集： 𝐴 ′ A ′  表示不属于A的元素，对应全集除去A圆外的区域。 应用场景 例题1：已知集合A有30人，集合B有25人， 𝐴 ∩ 𝐵 A∩B有10人，求 𝐴 ∪ 𝐵 A∪B的人数。 解： ∣ 𝐴 ∪ 𝐵 ∣ = ∣ 𝐴 ∣ + ∣ 𝐵 ∣ − ∣ 𝐴 ∩ 𝐵 ∣ = 30 + 25 − 10 = 45 ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣=30+25−10=45 例题2：用Venn图验证德摩根定律： ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ′ = 𝐴 ′ ∩ 𝐵 ′ (A∪B) ′ =A ′ ∩B ′  注意事项 •绘制时需确保各集合的交集区域比例正确 •处理三个以上集合时，Venn图会变得复杂（需使用多个交叉圆） •空集对应的区域需要明确标注（通常用斜线或阴影表示）

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Venn图是数学中用来表示集合关系的重要工具。它通过重叠的圆形区域来直观地展示不同集合之间的交集、并集和补集等运算关系。每个圆代表一个集合，圆的重叠部分表示集合的交集。 集合的基本运算包括并集、交集和补集。并集A∪B表示所有属于A或属于B的元素，在Venn图中对应两个圆的全部区域。交集A∩B表示同时属于A和B的元素，对应两个圆的重叠区域。补集A'表示不属于A的元素，对应全集中除去A圆外的区域。 现在我们来看一个具体的例题。已知集合A有30人，集合B有25人，A和B的交集有10人。我们需要求A和B的并集有多少人。通过Venn图可以清楚地看到，集合A中只属于A的人数是30减去10等于20人，集合B中只属于B的人数是25减去10等于15人，交集部分是10人。 利用集合并集的计数公式来解决这个问题。公式是：A并B的元素个数等于A的元素个数加上B的元素个数，再减去A交B的元素个数。这是因为在相加时，交集部分被重复计算了一次，所以要减去。代入数值：30加25减10等于45。因此，A并B共有45人。 最后我们来验证著名的德摩根定律。德摩根定律表明：A并B的补集等于A的补集与B的补集的交集。通过Venn图可以直观地验证这个定律。左边是A并B的补集，即全集中除去A并B后剩余的区域。右边是A的补集与B的补集的交集，即既不属于A也不属于B的区域。可以看到，这两个区域完全相同，从而验证了德摩根定律的正确性。