容斥原理 定义 容斥原理是组合数学中用于计算有限集合的并集或交集大小的基本原理。它通过交替加减不同集合的交集来避免重复计数。 公式 对于两个集合A和B：  ∣ 𝐴 ∪ 𝐵 ∣ = ∣ 𝐴 ∣ + ∣ 𝐵 ∣ − ∣ 𝐴 ∩ 𝐵 ∣ ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣  对于三个集合A、B和C：  ∣ 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 ∣ = ∣ 𝐴 ∣ + ∣ 𝐵 ∣ + ∣ 𝐶 ∣ − ∣ 𝐴 ∩ 𝐵 ∣ − ∣ 𝐴 ∩ 𝐶 ∣ − ∣ 𝐵 ∩ 𝐶 ∣ + ∣ 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ∣ ∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣  应用场景 •计数问题：如计算1到100中能被2或3整除的整数个数。 能被2整除的数有50个，能被3整除的数有33个，能被6整除的数有16个 结果=50+33-16=67 •概率计算：计算多个事件至少发生一个的概率时使用。 注意事项 •注意交集的符号方向，避免计算错误。 •当集合数量较多时，公式会变得复杂，需要系统性地应用原理。 •在概率应用中，要确保事件是独立的才能直接相乘计算交集概率。

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容斥原理是组合数学中的一个基本原理，用于计算有限集合的并集或交集大小。当我们要计算多个集合的并集时，如果简单地将各个集合的元素个数相加，会导致重复计数的问题。容斥原理通过交替加减不同集合的交集，巧妙地解决了这个重复计数的问题。 对于两个集合A和B，容斥原理的公式是：A并B的元素个数等于A的元素个数加上B的元素个数，再减去A交B的元素个数。这个公式的逻辑很简单：我们先把A的所有元素都算进去，然后把B的所有元素也算进去，但是这样会把交集部分重复计算了一次，所以最后要减去一次交集的元素个数。 当我们有三个集合A、B、C时，容斥原理的公式变得更复杂一些。我们需要先加上每个集合的大小，然后减去所有两两交集的大小，最后再加上三个集合共同交集的大小。这是因为在减去两两交集时，三个集合的共同交集被减了三次，所以需要加回来两次，最终效果是减去一次。 让我们通过一个具体例子来理解容斥原理的应用。问题是：计算1到100中能被2或3整除的整数个数。首先，能被2整除的数有50个，能被3整除的数有33个。如果直接相加得到83个，但这样会重复计算那些既能被2又能被3整除的数，也就是能被6整除的数，共有16个。根据容斥原理，最终结果是50加33减16，等于67个。 容斥原理在数学中有广泛的应用场景，包括计数问题、概率计算和组合数学等领域。在使用容斥原理时，需要注意几个重要事项：首先要注意交集的符号方向，避免计算错误；其次，当集合数量较多时，公式会变得非常复杂，需要系统性地应用原理；最后，在概率应用中，要确保事件是独立的才能直接相乘计算交集概率。掌握这些要点，就能正确运用容斥原理解决实际问题。