集合的交并补混合运算 定义 集合的交并补混合运算是指同时使用交集（ ∩ ）、并集（ ∪ ）和补集（ ′ ，也常用 ∁ U ​ A 表示， U 为全集 ）对集合进行复合运算的操作。 基本运算公式 交集： A∩B={x∣x∈A 且 x∈B} ，即由同时属于集合 A 和集合 B 的所有元素组成的集合。 并集： A∪B={x∣x∈A 或 x∈B} ，即由属于集合 A 或者属于集合 B 的所有元素组成的集合（元素不重复）。 补集： A ′ ={x∣x∈ / A} （默认全集为讨论范围，若需明确全集 U ，可写为 ∁ U ​ A={x∣x∈U 且 x∈ / A} ），即由全集中不属于集合 A 的所有元素组成的集合。 应用场景 计算复杂集合表达式，如 (A∪B) ′ ∩C ：需先求 A 和 B 的并集 A∪B ，再对其取补集 (A∪B) ′ ，最后与 C 取交集 。 证明集合运算律，如德摩根定律： (A∪B) ′ =A ′ ∩B ′ (A∩B) ′ =A ′ ∪B ′ 注意事项 运算顺序：遵循 “先括号内，再补集，然后交集，最后并集” 规则，避免因顺序混乱导致错误。 补集前提：补集运算需明确全集范围（默认全集时也需清晰，不同全集下补集结果不同 ）。 易错点：混合运算中易因忽略顺序、混淆概念（如 “且”“或” 逻辑 ），导致结果错误，需仔细推导。 典型例题 已知全集 U={1,2,3,4,5} ， A={1,2,3} ， B={2,3,4} ，求 (A∩B) ′ ∪A 。 解： 先求交集 A∩B ： 根据交集定义， A∩B={x∣x∈A 且 x∈B}={2,3} 。 再求补集 (A∩B) ′ ： 以 U 为全集， (A∩B) ′ ={x∣x∈U 且 x∈ / A∩B}={1,4,5} 。 最后求并集 (A∩B) ′ ∪A ： 根据并集定义， (A∩B) ′ ∪A={x∣x∈(A∩B) ′ 或 x∈A}={1,2,3,4,5} 。 综上， (A∩B) ′ ∪A={1,2,3,4,5} 。

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

集合的交并补混合运算是集合论中的重要概念。它涉及三种基本运算：交集用符号∩表示，表示两个集合共同的元素；并集用符号∪表示，表示两个集合所有元素的合并；补集用符号′表示，表示全集中不属于该集合的元素。这些运算可以组合使用，形成复杂的集合表达式。 接下来我们看看基本运算公式。交集A∩B是同时属于集合A和集合B的所有元素组成的集合。并集A∪B是属于集合A或者属于集合B的所有元素组成的集合。补集A′是全集中不属于集合A的所有元素组成的集合。这些公式是集合运算的基础。 在进行集合的混合运算时，必须遵循正确的运算顺序：先计算括号内的运算，再进行补集运算，然后是交集，最后是并集。德摩根定律是集合运算中的重要规律：两个集合并集的补集等于各自补集的交集；两个集合交集的补集等于各自补集的并集。运算中要特别注意明确全集范围，避免混淆逻辑关系。 现在我们通过一个具体例题来演示混合运算的过程。已知全集U包含1到5这五个数字，集合A包含1、2、3，集合B包含2、3、4。我们要求解表达式：A与B的交集的补集，再与A求并集。这个例题将帮助我们理解如何按步骤进行复杂的集合运算。 现在我们逐步求解这个问题。第一步，求A与B的交集：A∩B等于既属于A又属于B的元素，即2和3。第二步，求交集的补集：在全集U中，不属于A∩B的元素是1、4、5。第三步，求补集与A的并集：将1、4、5与A中的元素1、2、3合并，得到1、2、3、4、5，正好是全集U。这就是我们的最终答案。 接下来我们看看基本运算公式。交集A∩B是同时属于集合A和集合B的所有元素组成的集合。并集A∪B是属于集合A或者属于集合B的所有元素组成的集合。补集A′是全集中不属于集合A的所有元素组成的集合。这些公式是集合运算的基础。 在进行集合的混合运算时，必须遵循正确的运算顺序：先计算括号内的运算，再进行补集运算，然后是交集，最后是并集。德摩根定律是集合运算中的重要规律：两个集合并集的补集等于各自补集的交集；两个集合交集的补集等于各自补集的并集。运算中要特别注意明确全集范围，避免混淆逻辑关系。 现在我们通过一个具体例题来演示混合运算的过程。已知全集U包含1到5这五个数字，集合A包含1、2、3，集合B包含2、3、4。我们要求解表达式：A与B的交集的补集，再与A求并集。这个例题将帮助我们理解如何按步骤进行复杂的集合运算。 现在我们逐步求解这个问题。第一步，求A与B的交集：A∩B等于既属于A又属于B的元素，即2和3。第二步，求交集的补集：在全集U中，不属于A∩B的元素是1、4、5。第三步，求补集与A的并集：将1、4、5与A中的元素1、2、3合并，得到1、2、3、4、5，正好是全集U。这就是我们的最终答案。