视频字幕
采样定理，也称为奈奎斯特-香农采样定理，是信号处理领域的基础理论。它解决了一个关键问题：如何将连续时间信号转换为离散时间信号，同时保证能够完美地重构出原始信号。这里我们看到一个连续的正弦波信号，红色的点表示对该信号进行采样得到的离散样本点。
采样定理的数学表述非常简洁：采样频率必须大于等于信号最高频率的两倍。这个条件被称为奈奎斯特条件。当我们改变信号频率时，可以看到采样点的分布如何影响信号的重构。只有当采样频率足够高时，我们才能准确捕获信号的所有信息。
当采样频率满足奈奎斯特条件时，我们可以完美地重构原始信号。这里展示了正确采样的过程：蓝色曲线是原始的连续信号，红色点是按照足够高的采样率获得的样本点。通过适当的插值算法，我们可以从这些离散的采样点重构出绿色的信号，它与原始信号完全一致。这就是采样定理的神奇之处。
当采样频率不满足奈奎斯特条件时，就会发生混叠现象。这里我们看到一个3赫兹的高频信号，但采样频率只有2赫兹，远低于所需的6赫兹。红色采样点无法捕获信号的真实频率特征。从这些采样点重构出的信号变成了橙色的1赫兹低频信号，完全不同于原始信号。这种信息丢失是不可逆的，这就是为什么采样定理如此重要。
采样定理在现代数字技术中有着广泛的应用。在数字音频中，CD音质使用44.1千赫兹的采样频率，能够捕获人耳可听范围内的所有频率。在图像处理中，像素就是对连续图像的采样。通信系统利用采样定理实现模拟信号的数字化传输。医学成像设备如CT和MRI也依赖采样定理来重构人体内部结构。采样定理是连接模拟世界和数字世界的重要桥梁。