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今天我们来推导正弦差角公式。我们要证明 sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ。推导的基本思路是：首先将差角表示为和角，然后应用正弦和角公式，接着利用负角公式，最后化简得到结果。在单位圆中，我们可以看到角α、角β以及它们的差角α-β。
推导的第一步是将差角表示为和角。我们将 sin(α-β) 重写为 sin(α + (-β))。这个转换的关键在于，我们把减法变成了加法，其中第二项是一个负角。然后我们可以应用正弦的和角公式：sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB，其中 A 等于 α，B 等于负β。
第二步是应用负角公式。我们知道余弦是偶函数，所以 cos(-β) = cosβ；正弦是奇函数，所以 sin(-β) = -sinβ。将这些负角公式代入我们的表达式，得到 sinα cosβ + cosα (-sinβ)，化简后就是 sinα cosβ - cosα sinβ。这就是我们要证明的正弦差角公式。
现在让我们用具体数值来验证这个公式。取α等于60度，β等于30度，那么α减β等于30度。我们知道sin30度等于二分之一。用我们推导的公式计算：sin60度乘以cos30度减去cos60度乘以sin30度，等于根号三比二乘以根号三比二减去二分之一乘以二分之一，等于四分之三减去四分之一，结果是二分之一。这与sin30度的值完全一致，验证了我们公式的正确性。
让我们总结一下正弦差角公式的完整推导过程。首先，我们将sin(α-β)重写为sin(α+(-β))。然后应用正弦和角公式，得到sinα cos(-β) + cosα sin(-β)。接着利用负角公式，cos(-β)等于cosβ，sin(-β)等于负sinβ，最终得到sinα cosβ - cosα sinβ。这个公式在三角恒等式化简、物理学波动分析、工程信号处理和数学函数变换等领域都有重要应用。