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三角函数的和差公式是三角学的核心内容。这些公式告诉我们如何计算两个角的和或差的正弦、余弦值。在单位圆中，我们可以直观地看到角α、角β以及它们的和α+β。这些公式在数学、物理和工程中都有广泛应用。
现在我们来证明余弦差角公式。在单位圆上，设点P对应角α，点Q对应角β。我们利用两点间的距离公式来建立等式。通过计算PQ的距离的平方，并展开整理，我们可以得到余弦差角公式的表达式。这是所有和差公式的基础。
有了余弦差角公式作为基础，我们可以推导出其他所有的和差公式。余弦和角公式通过将β替换为负β来得到。正弦和角公式则利用诱导公式，将正弦转换为余弦，然后应用余弦差角公式。这种系统性的推导方法展示了三角恒等式之间的内在联系。
正切和差公式的推导基于正弦和余弦的和差公式。我们从正切的定义开始，即正弦除以余弦，然后代入已知的和差公式。通过分子分母同时除以余弦α余弦β，我们得到了简洁的正切和差公式。这个公式在解三角方程和简化三角表达式中非常有用。
三角函数和差公式是三角学的核心内容。我们从余弦差角公式开始，系统地推导出了所有的和差公式。这些公式不仅在数学中有重要地位，在物理学的波动分析、工程学的信号处理等领域也有广泛应用。掌握这些公式及其推导过程，对深入理解三角函数的性质具有重要意义。