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等差数列是数学中一种重要的数列类型。它的特点是从第二项开始，每一项与前一项的差都相等。这个固定的差值叫做公差，通常用字母d来表示。比如数列2、5、8、11、14、17，每相邻两项的差都是3，所以这是一个公差为3的等差数列。
等差数列的通项公式是a_n等于a_1加上n减1乘以d。其中a_n表示第n项，a_1是首项，d是公差。让我们用一个例子来说明：如果首项a_1等于2，公差d等于3，那么第二项a_2等于2加上1乘以3等于5，第三项a_3等于2加上2乘以3等于8，以此类推。通过这个公式，我们可以直接计算出等差数列中任意一项的值。
等差数列的求和公式有两种形式。第一种是当我们知道首项a₁、末项aₙ和项数n时，前n项和等于n乘以首项加末项的和再除以2。这个公式的推导很巧妙：我们把数列正着写一遍，再倒着写一遍，然后把对应项相加，发现每一对的和都等于首项加末项，总共有n对，所以2倍的和等于n乘以首项加末项，因此和等于n乘以首项加末项再除以2。
等差数列求和的第二种公式是当我们知道首项a₁、公差d和项数n时使用的。公式有两种等价的形式：第一种是S_n等于n乘以a₁加上n乘以n减1乘以d再除以2；第二种是S_n等于n除以2乘以2倍a₁加上n减1乘以d。让我们用例子来计算：已知a₁等于2，d等于3，求前5项和。代入公式得到S_5等于5除以2乘以4加12，等于5除以2乘以16，最终结果是40。
让我们总结一下等差数列的核心公式。通项公式是a_n等于a_1加上n减1乘以d，用于求数列中任意一项。求和公式有两种形式：当已知首项和末项时，使用S_n等于n乘以首项加末项除以2；当已知首项和公差时，使用S_n等于n除以2乘以2倍首项加上n减1乘以公差。这些公式是解决等差数列问题的基础工具，在数学、物理和工程等领域都有广泛应用。