同余定律是数论中的一个基本概念。当两个整数除以同一个正整数后得到相同的余数时，我们说这两个数关于这个模数同余。用数学符号表示为 a 同余于 b 模 n，这等价于说 a 减 b 能被 n 整除。例如，17 同余于 5 模 12，因为它们除以 12 的余数都是 5。
同余关系具有三个重要的基本性质。首先是反射性，任何数都与自己同余。其次是对称性，如果 a 同余于 b，那么 b 也同余于 a。最后是传递性，如果 a 同余于 b，且 b 同余于 c，那么 a 也同余于 c。这三个性质使得同余关系成为一个等价关系，为后续的运算性质奠定了基础。
同余关系具有重要的运算性质。如果 a 同余于 b 模 n，且 c 同余于 d 模 n，那么它们的和、差、积都保持同余关系。具体来说，a 加 c 同余于 b 加 d 模 n，a 减 c 同余于 b 减 d 模 n，a 乘 c 同余于 b 乘 d 模 n。此外，幂运算也保持同余，即 a 的 k 次方同余于 b 的 k 次方模 n。这些性质是模运算的基础。
让我们通过一个具体例子来验证同余运算性质。计算 23 加 15 再乘以 7 模 12 的结果。首先将各数化简：23 同余于 11 模 12，15 同余于 3 模 12。然后应用加法性质：23 加 15 同余于 11 加 3 等于 14，再同余于 2 模 12。最后应用乘法性质：结果乘以 7 同余于 2 乘以 7 等于 14，再同余于 2 模 12。我们可以验证：266 除以 12 等于 22 余 2，证实了我们的计算。
同余定律在现代数学和计算机科学中具有重要地位。它在密码学中是 RSA 加密算法的基础，在计算机科学中用于设计哈希函数，在数论中帮助进行素数判定，在代数学中是群论和环论的重要工具。总的来说，同余定律为我们提供了处理整数除法余数的系统方法，是模运算的理论基础，在现代数学的各个分支中都发挥着不可或缺的作用。