二次函数是数学中一种重要的函数类型。它的一般形式是 y 等于 a x 的平方加 b x 加 c，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于零。二次函数的图像是一条抛物线，具有独特的对称性质。
系数 a 对二次函数图像有重要影响。当 a 大于零时，抛物线开口向上；当 a 小于零时，抛物线开口向下。a 的绝对值越大，抛物线越窄；a 的绝对值越小，抛物线越宽。让我们通过动画来观察这种变化。
二次函数有重要的几何性质。对称轴的方程是 x 等于负 b 除以 2a，顶点坐标是负 b 除以 2a 和 c 减去 b 的平方除以 4a。抛物线关于对称轴完全对称。以函数 y 等于 x 平方加 2x 减 1 为例，对称轴是 x 等于负 1，顶点坐标是负 1 逗号负 2。
二次函数有三种常用的表达形式。一般式 y 等于 ax 平方加 bx 加 c 是最基本的形式。顶点式 y 等于 a 乘以 x 减 h 的平方加 k 直接显示顶点坐标。交点式 y 等于 a 乘以 x 减 x1 乘以 x 减 x2 直接显示与 x 轴的交点。图中展示的函数可以写成交点式 y 等于 x 减 1 乘以 x 减 3。
二次函数的最值问题是其重要应用。当系数 a 大于零时，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值。当 a 小于零时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值。这一性质在实际问题中有广泛应用，如描述抛物运动轨迹、求解利润最大化和成本最小化等优化问题。掌握二次函数是解决这类问题的关键。