Graphing quadratic functions involves plotting mathematical functions of the form f(x) = ax² + bx + c on a coordinate plane. A quadratic function is a polynomial where a, b, and c are constants and a is not equal to zero. The graph of any quadratic function is always a U-shaped curve called a parabola.
Every parabola has several key components. The vertex is the highest or lowest point, depending on whether the parabola opens up or down. The axis of symmetry is a vertical line that passes through the vertex and divides the parabola into two mirror images. The y-intercept is where the parabola crosses the y-axis, and the x-intercepts are where it crosses the x-axis.
The coefficient 'a' in the quadratic function significantly affects the parabola's appearance. When 'a' is positive, the parabola opens upward like a smile. When 'a' is negative, it opens downward like a frown. The absolute value of 'a' determines the width: larger values make the parabola narrower and steeper, while smaller values make it wider and more gradual.
To find the vertex of a quadratic function, we use the formula x equals negative b over 2a. This gives us the x-coordinate of the vertex. We then substitute this value back into the function to find the y-coordinate. For example, in the function f(x) = x² - 4x + 3, we have a = 1 and b = -4, so the x-coordinate is 2. Substituting x = 2 gives us y = -1, so the vertex is at (2, -1).
كل قطع مكافئ له عدة مكونات أساسية. الرأس هو أعلى أو أدنى نقطة، حسب ما إذا كان القطع المكافئ يفتح لأعلى أو لأسفل. محور التماثل هو خط عمودي يمر عبر الرأس ويقسم القطع المكافئ إلى صورتين متطابقتين. تقاطع المحور الصادي هو حيث يقطع القطع المكافئ المحور y، وتقاطعات المحور السيني هي حيث يقطع المحور x.
المعامل 'a' في الدالة التربيعية يؤثر بشكل كبير على مظهر القطع المكافئ. عندما يكون 'a' موجباً، يفتح القطع المكافئ لأعلى مثل الابتسامة. وعندما يكون 'a' سالباً، يفتح لأسفل مثل العبوس. القيمة المطلقة لـ 'a' تحدد العرض: القيم الأكبر تجعل القطع المكافئ أضيق وأكثر انحداراً، بينما القيم الأصغر تجعله أوسع وأكثر تدرجاً.
لإيجاد رأس الدالة التربيعية، نستخدم القانون x يساوي سالب b على 2a. هذا يعطينا الإحداثي السيني للرأس. ثم نعوض هذه القيمة في الدالة لإيجاد الإحداثي الصادي. على سبيل المثال، في الدالة f(x) = x² - 4x + 3، لدينا a = 1 و b = -4، لذا الإحداثي السيني هو 2. بالتعويض x = 2 نحصل على y = -1، إذن الرأس عند النقطة (2, -1).
رسم الدوال التربيعية له تطبيقات عملية واسعة في الحياة اليومية. في الفيزياء، يصف مسار القذائف والحركة تحت تأثير الجاذبية. في الهندسة، يستخدم لتصميم الأقواس والجسور. في الاقتصاد، يساعد في تحليل الربح والتكلفة. في الرياضة، يوضح مسار الكرة في الألعاب المختلفة. وفي الهندسة المعمارية، يستخدم في تصميم القباب والهياكل المنحنية.