好的，我现在来详细讲解这道题。首先，题目分为两部分，都是关于三角形ABC的。第一部分要求求出角B的大小，第二部分则要求求出一个函数的值域。 **第一部分：求角B的大小** 首先，题目给出了一个关于tan B和tan C的关系式：(tan B)/(tan C) = (2a - c)/c。我们需要将这个关系式转化为三角函数的基本形式来求解角B。 根据三角函数的定义，我们知道tan B = sin B / cos B，同样地，tan C = sin C / cos C。因此，我们可以将原式改写为： (sin B / cos B) / (sin C / cos C) = (2a - c)/c。 接下来，我们可以简化左边的表达式： (sin B * cos C) / (sin C * cos B) = (2a - c)/c。 因为两边都是正数（因为角度在0到π之间），我们可以两边同时乘以sin C * cos B来消去分母： sin B * cos C = (2a - c)/c * sin C * cos B。 接下来，我们需要利用正弦定理来替换a和c。根据正弦定理，在三角形中，有a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R（其中R是外接圆半径）。因此，我们可以将a表示为：a = 2R sin A，c表示为：c = 2R sin C。 将这些代入上式中： sin B * cos C = [2*(2R sin A) - 2R sin C] / (2R sin C) * sin C * cos B。 简化后得到： sin B * cos C = [4R sin A - 2R sin C] / (2R sin C) * sin C * cos B。 进一步简化后得到： sin(B + C) = 2 sin A cos B。 由于在三角形中，B + C = π - A，所以sin(B + C) = sin(π - A) = sin A。因此上式变为： sin A = 2 sin A cos B。 两边同时除以sin A（假设sin A ≠ 0），得到： cos B = 1/2。 因此，角B的大小为π/3弧度（即60度）。 **第二部分：求函数f(x)的值域** 函数f(x)定义为f(x) = cos x * cos(x + B)，其中x ∈ [0, π/2]。我们已经知道B = π/3弧度（60度），所以可以将其代入函数中得到：f(x) = cos x * cos(x + π/3)。 为了求这个函数的值域，我们可以将其展开并化简。 首先使用余弦加法公式展开cos(x + π/3)，得到：cos x * (cos x cos π/3 - sin x sin π/3). 由于cos π/3=1/2和sin π/3=√3/2, 所以上式变为：cos x*(1/2*cos x - √3/2*sin x). 进一步展开后得到：(1/2)*cos²x - (√3/4)*sin(2x). 接下来可以使用倍角公式进一步化简，并最终表示为一个关于cos(θ + φ)的形式，并找到其最大值和最小值范围。通过分析可知该函数在区间[0, π]内的值域为[-1/4, 1/4]。 【答案】（1）解：（1）∵(frac{sin B cos C}{sin C cos B} = frac{2sin A - sin C}{sin C})，而(sin C > 0), ∴(sin B cos C = 2sin A cos B - cos B sin C), ∴(sin(B + C) = 2sin A cos B), 又∵(sin(B + C) = sin A)，∴(cos B = frac{1}{2})，∴(B = frac{pi}{3}). （2）解：(f(x) = frac{1}{2} cos^2 x - frac{sqrt{3}}{2} sin x cos x) = (frac{1 + cos 2x}{4} - frac{sqrt{3}}{4} sin 2x = frac{1}{2} cos(2x + frac{pi}{3}) + frac{1}{4}), ∵(2x + frac{pi}{3} in [frac{pi}{3}, frac{4}{3} pi])，∴(-1 leq cos(2x + frac{pi}{3}) leq frac{1}{2}), ∴(f(x))的值域为([- frac{1}{4}, frac{1}{2}])