Suppose a, b and c are the last three digits of the six-digit integer N = 111 abc. If N is divisible by 18, how many possibilities are there for N? (A) 50 (B) 55 (C) 56 (D) 110 (E) 112

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我们来分析这道关于六位数整除性的问题。给定六位数N等于111abc，其中a、b、c是最后三位数字。要使N能被18整除，我们需要利用18等于2乘以9的性质，即N必须同时被2和9整除。 现在我们详细分析整除条件。首先，要被2整除，个位数字c必须是偶数，即c只能取0、2、4、6、8这五个值。其次，要被9整除，各位数字之和必须被9整除。N的数字之和为3加上a加b加c，因此3+a+b+c必须是9的倍数。由于a、b、c的取值范围，3+a+b+c可能等于9、18或27，对应a+b+c等于6、15或24。 我们先计算第一种情况，当a加b加c等于6时。由于c必须是偶数，我们分别考虑c等于0、2、4、6、8的情况。当c等于0时，a加b等于6，满足条件的非负整数解有7组。当c等于2时，a加b等于4，有5组解。当c等于4时，a加b等于2，有3组解。当c等于6时，a加b等于0，只有1组解。当c等于8时，a加b等于负2，没有非负整数解。因此情况1的总解数为16组。 接下来计算情况2和情况3。当a加b加c等于15时，对于c的各个偶数值，我们计算对应的a加b组合数。c等于0时有4组解，c等于2时有6组解，c等于4时有8组解，c等于6时有10组解，c等于8时有8组解，情况2总共36组解。当a加b加c等于24时，只有c等于6和8时有解，分别是1组和3组，情况3总共4组解。 现在我们总结所有计算结果。情况1当a加b加c等于6时，有16种可能。情况2当a加b加c等于15时，有36种可能。情况3当a加b加c等于24时，有4种可能。将三种情况的结果相加：16加36加4等于56。因此，满足条件的六位数N共有56种可能性，答案是C选项56。