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极限是微积分的核心概念，描述函数在某点附近的行为趋势。考虑函数f(x)等于x平方减1除以x减1，当x趋近于1时，虽然函数在x等于1处未定义，但我们可以通过因式分解将分子化为(x+1)(x-1)，约去公因式x-1，得到x+1，所以极限值为2。
求极限的基本方法包括直接代入法和代数变形法。直接代入法适用于函数在该点连续的情况，如x趋近于2时x平方加3x减1的极限，直接代入得到9。代数变形法用于处理不定式，如根号x加4减2除以x当x趋近于0的极限，通过有理化分子分母同乘共轭式，化简后得到四分之一。
洛必达法则是处理不定式的强大工具。当遇到零比零或无穷比无穷型不定式时，如果分子分母在该点可导且导数的极限存在，则原极限等于导数的极限。例如sin x除以x当x趋近于0的极限，应用洛必达法则得到cos x除以1的极限，结果为1。对于e的x次方除以x平方当x趋近于无穷的极限，连续应用两次洛必达法则可得到无穷。
夹逼定理是求极限的重要方法，当函数被两个有相同极限的函数夹在中间时，该函数的极限就等于这个相同的极限值。例如x平方乘以sin(1/x)当x趋近于0的极限，由于sin函数有界，利用夹逼定理可得极限为0。重要极限如sin x除以x当x趋近于0时等于1，常用于处理三角函数极限，如sin 3x除以2x的极限等于二分之三。
极限是微积分中最重要的基础概念之一。在实际计算中，我们经常遇到各种形式的极限问题。掌握不同的求极限方法，能够帮助我们高效地解决复杂的数学问题。今天我们将学习六种主要的求极限方法。
第一种方法是直接代入法。当函数在某点连续时，我们可以直接将x值代入函数求得极限。第二种是代数变形法，通过因式分解、有理化等手段化简函数。例如x平方减1除以x减1的极限，我们将分子因式分解，约去公因子，得到极限值为2。
洛必达法则是处理未定式极限的强大工具。当极限为零比零或无穷比无穷型时，我们可以分别对分子分母求导，然后再求极限。例如sin x除以x当x趋近于0的极限，这是零比零型，应用洛必达法则得到cos x除以1，极限值为1。
夹逼定理是证明极限存在的重要方法。如果函数f被两个函数g和h夹在中间，且g和h在某点的极限相等，那么f在该点的极限也等于这个值。此外，我们还有两个重要极限：sin x除以x当x趋近于0时等于1，以及1加1/x的x次方当x趋近于无穷时等于e。
泰勒展开是处理复杂函数极限的有效方法，将函数在某点附近展开为幂级数。例如e的x次方减1减x除以x平方当x趋近于0的极限，利用e的x次方的泰勒展开，化简后得到二分之一。总结求极限的方法：首先尝试直接代入，遇到不定式时根据具体情况选择代数变形、洛必达法则、夹逼定理、重要极限或泰勒展开等方法。掌握这些方法并灵活运用是解决极限问题的关键。