解答---**Title:** 备用题
**Question Stem:**
设 $z = f(u)$, 方程 $u = \varphi(u) + \int_{y}^{x} p(t) dt$ 确定 $u$ 是 $x, y$ 的函数, 其中 $f(u), \varphi(u)$ 可微, $p(t), \varphi'(u)$ 连续, 且 $\varphi'(u) \neq 1$, 求 $p(y)\frac{\partial z}{\partial x} + p(x)\frac{\partial z}{\partial y}$.
**Mathematical Relations and Conditions:**
1. $z = f(u)$
2. $u = \varphi(u) + \int_{y}^{x} p(t) dt$
3. $u$ is a function of $x$ and $y$.
4. $f(u)$ is differentiable.
5. $\varphi(u)$ is differentiable.
6. $p(t)$ is continuous.
7. $\varphi'(u)$ is continuous.
8. $\varphi'(u) \neq 1$.
**Expression to Find:**
$p(y)\frac{\partial z}{\partial x} + p(x)\frac{\partial z}{\partial y}$
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答案文本
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这是一个关于隐函数偏导数的问题。我们有函数 z 等于 f(u)，其中 u 由一个积分方程确定。我们需要求出 p(y) 乘以 z 对 x 的偏导数，加上 p(x) 乘以 z 对 y 的偏导数。
首先，我们应用链式法则。由于 z 等于 f(u)，而 u 是 x 和 y 的函数，我们可以写出 z 对 x 的偏导数等于 f'(u) 乘以 u 对 x 的偏导数，z 对 y 的偏导数等于 f'(u) 乘以 u 对 y 的偏导数。
接下来，我们对原方程分别关于 x 和 y 求偏导数。对 x 求偏导时，积分的上限是 x，所以导数是 p(x)。整理后得到 u 对 x 的偏导数等于 p(x) 除以 1 减去 φ'(u)。类似地，对 y 求偏导时，积分的下限是 y，所以导数是负的 p(y)。
现在我们将求得的偏导数代入链式法则的结果中。然后计算目标表达式 p(y) 乘以 z 对 x 的偏导数，加上 p(x) 乘以 z 对 y 的偏导数。展开后发现两项完全相等但符号相反，因此相加结果为零。
总结一下，这道题的关键在于正确应用链式法则和积分的基本定理。通过对积分方程分别关于 x 和 y 求偏导数，我们得到了 u 的偏导数表达式。最终计算目标表达式时，发现两项完全抵消，结果为零。这体现了隐函数偏导数的对称性质。