请给我解答这道题目---**Extracted Content:**
**Question Stem:**
eg. 求 y=sinx (0≤x≤π) 与 x轴 围成的图形 分别绕 x轴, y轴 旋转一周所得的旋转体的体积.
**Mathematical Function and Domain:**
y = sin(x)
Domain: 0 ≤ x ≤ π
**Region Description:**
The region enclosed by the curve y = sin(x) and the x-axis.
**Axes of Rotation:**
x-axis
y-axis
**Objective:**
Find the volume of the solid of revolution obtained by rotating the described region separately around the x-axis and around the y-axis.
**Diagram Description:**
Partial drawing of a coordinate axis. A vertical line representing the y-axis is shown, labeled with 'y' and an upward arrow indicating the positive direction. The x-axis is not fully shown but is implied as the boundary of the region with y=sin(x).
视频信息
答案文本
视频字幕
这是一道关于旋转体体积的经典问题。我们需要求出正弦函数 y = sin(x) 在区间 0 到 π 上与 x 轴围成的区域，分别绕 x 轴和 y 轴旋转一周所得旋转体的体积。首先让我们观察这个区域的形状。
当区域绕 x 轴旋转时，我们使用圆盘法。在任意 x 处，截面是一个半径为 sin(x) 的圆盘。体积积分为 π 乘以 sin²(x) 从 0 到 π 的积分。利用三角恒等式 sin²(x) 等于 (1 - cos(2x)) 除以 2，我们可以简化这个积分。
现在我们完成绕 x 轴旋转的积分计算。将积分式展开，得到 x 减去 sin(2x) 除以 2，在 0 到 π 上求定积分。由于 sin(2π) 和 sin(0) 都等于 0，最终结果简化为 π 的平方除以 2。因此绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为 π² 除以 2。
当区域绕 y 轴旋转时，我们使用柱壳法。在任意 x 处，形成一个半径为 x、高度为 sin(x) 的圆柱壳。体积积分为 2π 乘以 x sin(x) 从 0 到 π 的积分。为了计算这个积分，我们需要使用分部积分法，令 u 等于 x，dv 等于 sin(x) dx。
完成分部积分计算，我们得到 x sin(x) 的积分等于负 x cos(x) 加 sin(x)。在 0 到 π 上求定积分，由于 cos(π) 等于负1，sin(π) 等于 0，最终结果为 π。因此绕 y 轴旋转的体积为 2π²。总结：绕 x 轴旋转体积为 π² 除以 2，绕 y 轴旋转体积为 2π²。