视频字幕
函数值域是数学中的重要概念，指函数所有可能输出值的集合。求函数值域需要根据函数的具体形式和特点选择合适的方法。常用的方法包括直接观察法、配方法、判别式法、换元法、反函数法、单调性法、图象法、不等式法和导数法等。选择正确的方法是解决问题的关键。
配方法是求二次函数值域的重要方法。通过配方将函数转化为y等于a乘以x减h的平方加k的形式，可以清楚地看出函数的顶点坐标。例如函数y等于x平方减4x加5，配方后得到y等于括号x减2括号的平方加1，顶点为括号2逗号1括号。在定义域1到4上，最小值为1，最大值为5，所以值域为1到5。
判别式法主要用于求分式函数的值域。对于函数y等于x加1除以x减2，我们将其转化为关于x的方程，得到x乘以y减1等于2y加1。当y不等于1时，这个方程总有实数解，因此函数的值域是实数集去掉1。从图像上看，这是一个双曲线，有两条渐近线：竖直渐近线x等于2和水平渐近线y等于1。
换元法通过引入新变量来简化复杂函数的结构。对于函数y等于x加根号1减x，我们设t等于根号1减x，其中t大于等于0，x等于1减t的平方。代入原函数得到y等于1减t平方加t，配方后得到y等于负的t减二分之一的平方加四分之五。当t等于二分之一时，函数取得最大值四分之五，对应的x值为四分之三。
通过前面的学习，我们了解了求函数值域的多种方法。直接观察法适用于基本函数，配方法主要用于二次函数，判别式法适用于分式函数，换元法可以简化复杂函数结构。此外还有单调性法、图象法、不等式法和导数法等。在实际解题中，要根据函数的具体形式和特点选择最合适的方法，有时还需要多种方法结合使用。掌握这些方法对于解决函数值域问题非常重要。