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瞬时变化率是微积分中的核心概念。想象一个函数图像上的点P，当我们考虑从P到附近另一点Q的平均变化率时，随着Q点越来越接近P点，这个平均变化率会趋向于一个固定值，这就是函数在P点的瞬时变化率。
平均变化率表示函数在一个区间内的整体变化趋势，而瞬时变化率则是当区间无限缩小时的极限值。通过观察割线逐渐接近切线的过程，我们可以直观地理解瞬时变化率的概念。当Δx趋于零时，割线的斜率趋向于切线的斜率，这就是瞬时变化率。
瞬时变化率的数学定义就是导数。当我们说函数f(x)在点x₀处的导数时，指的就是这个极限值。导数f'(x₀)表示函数图像在该点处切线的斜率，也就是函数在该点的瞬时变化率。这个概念将几何直观与代数计算完美结合。
瞬时变化率在几何上表示函数图像在某点处切线的斜率。当我们沿着曲线移动时，可以观察到切线斜率的变化。斜率为正时函数递增，斜率为负时函数递减，斜率为零时函数可能达到极值点。这种几何直观帮助我们理解函数的局部性质。
瞬时变化率在现实世界中有着广泛的应用。在物理学中，位置对时间的瞬时变化率就是瞬时速度，速度对时间的瞬时变化率就是瞬时加速度。在经济学中，成本函数的瞬时变化率称为边际成本。瞬时变化率为我们提供了描述和分析各种动态现象的强大数学工具。