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我们来分析函数 f(x) = ae^x - a - x ln x 当 a = 1 时的单调性。首先将 a = 1 代入得到 f(x) = e^x - 1 - x ln x。为了讨论单调性，我们需要求导数 f'(x) = e^x - ln x - 1。通过分析导数的符号可以判断函数的单调性。
为了分析导数 f'(x) 的符号，我们设 g(x) = e^x - ln x - 1，并求其导数 g'(x) = e^x - 1/x。令 g'(x) = 0，得到方程 e^x = 1/x。由于 y = e^x 单调递增，y = 1/x 单调递减，这个方程在正实数范围内有唯一解 x₀。
由于g(x)在x₀处取得最小值，我们需要计算g(x₀)。由方程e^x₀ = 1/x₀，取对数得ln x₀ = -x₀。将此关系代入g(x₀)，得到g(x₀) = 1/x₀ + x₀ - 1。根据均值不等式，1/x₀ + x₀ ≥ 2，且等号不成立，所以g(x₀) > 1。这说明g(x)的最小值大于1，因此g(x) > 0恒成立。
现在考虑第二问：若f(x) > 0恒成立，求a的取值范围。我们需要分情况讨论。当a ≤ 0时，由于e^x > 0，所以ae^x ≤ 0，而-a ≥ 0，x ln x在x > 1时为正，因此f(x)不可能恒大于0。所以必须a > 0。
通过类似的分析，当a ≥ 1时，导数f'(x) = ae^x - ln x - 1 ≥ e^x - ln x - 1 > 0，所以f(x)单调递增。在x = 1处，f(1) = a(e-1) > 0。由于函数单调递增且在x = 1处为正，因此f(x) > 0在整个定义域上恒成立。综上所述，a的取值范围是[1, +∞)。