请解答以上问题---23. (本题10分) 综合与实践：选择卡纸最优采购方案。 [案材]有A, B两种卡纸, 可用来做小旗子, 若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面, 2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面。由于艺术节场地布置的需要, 某学校打算采购A, B两种卡纸 (两种卡纸均要购买)。学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子。已知学校采购一张A卡纸4元, 一张B卡纸3元。 [问题] 任务1:求A, B两种卡纸每张分别可以做几面小旗子。 任务2:制作过程中, 若A, B卡纸恰好用完, 没有余料剩余, 则制作这些灯笼各需要卡纸多少张? 任务3:由于艺术节实际需要, 现须用卡纸再做一些灯笼, 已知一张A, B卡纸可分别做灯笼3个和2个, 学校为所给的采购经费为54元。计划将60面小旗子制作完成后的剩余卡纸拿来制作灯笼, 制作小旗子和灯笼的过程中纸板均恰好用完, 请设计制作灯笼最多的采购方案。(同一张卡纸只能做同一类手工, 即不能既做小旗子又做小灯笼)。

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我们来解决任务1，求A、B两种卡纸每张分别可以做几面小旗子。根据题目条件，1张A卡纸和1张B卡纸共能做8面小旗子，2张A卡纸和3张B卡纸共能做19面小旗子。设A卡纸每张做x面小旗子，B卡纸每张做y面小旗子，可以列出方程组。通过消元法求解，得到A卡纸每张可以做5面小旗子，B卡纸每张可以做3面小旗子。 现在解决任务2，制作60面小旗子需要多少张卡纸。根据任务1的结果，A卡纸每张做5面小旗子，B卡纸每张做3面小旗子。设需要A卡纸a张，B卡纸b张，列出方程5a加3b等于60。由于要求卡纸恰好用完，需要找正整数解。通过分析可知b必须是5的倍数，得到三种方案：方案一是9张A卡纸和5张B卡纸，方案二是6张A卡纸和10张B卡纸，方案三是3张A卡纸和15张B卡纸。 现在解决任务3，设计制作灯笼最多的采购方案。新增条件是A卡纸每张做3个灯笼，B卡纸每张做2个灯笼，采购经费54元。策略是先用部分卡纸制作60面小旗子，剩余卡纸制作灯笼。通过分析各种采购方案，在预算约束下找到能制作小旗子的方案，并计算剩余卡纸能制作的灯笼数量。经过比较，最优方案是采购A卡纸12张、B卡纸2张，总费用54元，可制作4个灯笼。 让我们详细验证最优方案的计算过程。采购A卡纸12张、B卡纸2张，总费用为54元，正好用完预算。用12张A卡纸制作60面小旗子，B卡纸不用于制作小旗子。制作完小旗子后，A卡纸用完，剩余2张B卡纸。每张B卡纸可以做2个灯笼，所以总共可以制作4个灯笼。这就是在给定约束条件下能制作灯笼最多的采购方案。 让我们总结一下这道综合实践题的完整答案。任务1通过建立方程组，求得A卡纸每张可以做5面小旗子，B卡纸每张可以做3面小旗子。任务2要求制作60面小旗子且卡纸恰好用完，通过分析整数解的性质，找到三种可行方案。任务3是优化问题，在预算约束下寻找制作灯笼最多的方案，最终确定采购A卡纸12张、B卡纸2张的最优方案。这道题综合运用了方程组、整数解分析和线性规划的思想，体现了数学在实际问题中的应用。