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复数乘法是复数运算中的重要内容。复数通常表示为 a 加 bi 的形式，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位，满足 i 的平方等于负一。在复平面上，我们可以用向量来表示复数，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
现在我们来推导复数乘法的公式。设两个复数 z1 等于 a 加 bi，z2 等于 c 加 di。它们的乘积等于括号 a 加 bi 乘以括号 c 加 di。使用分配律展开，得到 ac 加 adi 加 bci 加 bdi 的平方。由于 i 的平方等于负一，所以 bdi 的平方等于负 bd。重新整理得到最终公式：实部是 ac 减 bd，虚部是 ad 加 bc。
让我们通过一个具体例子来演示复数乘法。计算括号 2 加 3i 乘以括号 1 减 4i。首先识别各个系数：a 等于 2，b 等于 3，c 等于 1，d 等于负 4。计算实部：ac 减 bd 等于 2 乘 1 减 3 乘负 4，等于 2 减负 12，等于 14。计算虚部：ad 加 bc 等于 2 乘负 4 加 3 乘 1，等于负 8 加 3，等于负 5。因此最终结果是 14 减 5i。
复数乘法在复平面上有重要的几何意义。当两个复数相乘时，结果复数的模长等于两个复数模长的乘积，而幅角等于两个复数幅角的和。在这个例子中，z1 等于 2 加 3i，z2 等于 1 减 4i，它们的乘积是 14 减 5i。我们可以看到，乘积的向量长度是原来两个向量长度的乘积，而角度是两个角度的和。这种几何性质使得复数乘法在旋转和缩放变换中非常有用。
让我们总结一下复数乘法的要点。复数乘法的代数形式是括号 a 加 bi 乘以括号 c 加 di，结果公式是括号 ac 减 bd 加括号 ad 加 bc 乘以 i。从几何角度看，两个复数相乘时，模长相乘，幅角相加。复数乘法在许多领域都有重要应用，包括电气工程中的交流电路分析、信号处理中的频域变换，以及计算机图形学中的旋转变换。掌握复数乘法是学习复分析和相关应用的重要基础。